Exercícios Resolvidos de Conservação de Energia

UNICAMP-P1-2007- Q1

O gráfico abaixo representa a aceleração da gravidade (em m / s 2 ) em função da distância ao centro R   m de um asteroide esférico cujo raio é de 40   k m

(a) Calcule a velocidade de escape de um corpo neste asteroide.

(b) Até que distância da superfície irá o corpo se ele deixar a superfície do asteroide com uma velocidade radial de 100   m / s ?

Passo 1

(a)

Do principio da Conservação de Energia:

- G M m R + 1 2 m v 2 = 0

Podemos deduzir a fórmula da velocidade de escape:

V e = 2 G M R

Mas, pela segunda Lei de Newton temos:

F = m a

G M m R 2 = m a g

a g R = G M R

Onde a g é a aceleração da gravidade na superfície que podemos tirar do gráfico! Olhando lá

a g = 2 m / s 2

Então:

V e = 2 a g R = 2 ( 2,0   m / s 2 ) ( 40   .     10 3   m ) = 4,0   .   10 2   m / s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Do princípio da Conservação de Energia:

- G M m R + 1 2 m v 2 = - G M m R + h

Mas, sabemos que:

G M R = a g R

G M = a g R 2

Substituindo isso:

- a g R + 1 2 v 2 = - a g R 2 R + h

- 1 R + 1 2 v 2 a g R 2 = - 1 R + h  

1 R + h = 2 a g R 2 a g R 2 - 1 2 v 2 a g R 2 = 2 a g R - v 2 2 a g R 2

h = 2 a g R 2 2 a g R - v 2 - R

h = 2 2,0   m / s 2 40 000     m 2 2 2,0   m / s 2 40 000     m - 100   m / s 2 - 40 000   m ≈ 2666   m

h = 2 . 67   k m

Resposta

a)

V e = 4,0   .   10 2   m / s

b) h = 2.67   k m

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