Exercícios Resolvidos de Conservação de Energia

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Enunciado

Para medir a massa de um planeta cujo raio é cinco vezes o raio da Terra, um astronauta deixa cair um objeto, a partir do repouso, a uma altura de 30 metros acima da superfície do planeta. Quando o objeto chega à superfície do planeta, sua velocidade é o dobro da velocidade que o objeto teria caso o mesmo experimento tivesse sido realizado na Terra. Qual é a massa desse planeta?

Passo 1

O que faz com que o objeto caia é o que chamamos de gravidade, certo? Vimos na teoria que a aceleração da gravidade é dada por:

g = G M R 2

Bem, agora o que faremos é descobrir a aceleração da gravidade desse planeta, a da Terra sabemos que é 9,82   m / s 2 .

Para fazermos isso iremos usar os dados sobre o teste que o astronauta realizou. Quando o objeto estava a uma altura de 30   metros a energia potencial dele era:

U o = m . g ' . 30

Assim ao chegar na superfície, por conservação de energia mecânica, a velocidade será:

K f = U o

1 2 m v 2 = m g ' 30

v = 60 g '

Passo 2

Agora vamos encontrar uma relação entre a gravidade desse planeta com a da terra, se g ' fosse a aceleração gravitacional da terra a velocidade seria:

v T = 60 g T

O enunciado disse que a velocidade encontrada é o dobro da velocidade que encontraríamos na Terra. Com essa informação conseguimos descobrir quanto vale a aceleração da gravidade nesse planeta, pois a velocidade é dada por

v = 60 g ' = 2 . v T = 2 . 60 g T

60 g ' = 4.60 g T

g ' = 4 g T

Passo 3

Agora que temos a aceleração da gravidade nesse planeta em relação a aceleração da gravidade da terra, podemos substituir essas acelerações por

g = G M R 2

Lembrando que o raio desse planeta é 5x o raio da Terra.

g ' = G M 25 R T 2

g T = G M T R T 2

Assim,

G M 25 R T 2 = 4 . G M T R T 2

Cortando os termos iguais e isolando a massa do planeta temos:

M = 100 M T

O formulário da prova fornece que M T = 6 x 10 24 , sendo assim a massa do planeta é:

M = 6.10 26   k g

Resposta

M = 6.10 26   k g

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