Exercícios Resolvidos de Derivadas Laterais

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Enunciado

2,. Considere a função

h x = x ,     x ≥ 3 x 2 3 ,     x < 3

Determine   h + ' 3 e h - ' 3 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Assim como temos limites laterais, as funções também possuem derivadas laterais e é isso que temos que fazer nessa questão.

Mas antes de começar, temos que reparar que a função muda de comportamento para valores maiores e menores que x .

Agora bora aplicar!

Passo 2

Começando por f + ' 3 . Aqui estamos nos aproximando pela direita, ou seja, valores maiores que 3 .

Calculando a derivada usando a definição:

f + ' 3 = lim x → 3 + ⁡ x - 3 x - 3

f + ' ( 3 ) = lim x → 3 + ⁡ x - 3 x - 3 = 1

Passo 3

Agora vamos calcular a nossa f - ' 3 . Aqui estamos nos aproximando pela esquerda, ou seja, valores menores que 3 .

Calculando a derivada usando a definição:

f - ' 3 = lim x → 3 - ⁡ x 2 3 - 3 2 3 x - 3 = lim x → 3 - ⁡ x 2 3 - 3 x - 3

Ajeitando, ficamos com

f - ' 3 = lim x → 3 - ⁡ x 2 - 9 3 x - 3 = lim x → 3 - ⁡ x - 3 x + 3 3 x - 3

Simplificando,

f - ' 3 = lim x → 3 - ⁡ x + 3 3 = 2

Prontinho!

Resposta

f + ' ( 3 ) = 1

f - ' 3 = 2

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