Exercícios Resolvidos de Derivadas Laterais

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Enunciado

4. Verifique se a função f :   R → R dada por

f x = x 2 ,   s e   x ≤ 2 x + 2 ,   s e   x > 2

É diferenciavel no ponto x = 2 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nesse exercício, nós temos que dizer se f x é diferenciavel no ponto 2 . Mas repara que a função tem um comportamento para x ≤ 2 e outro comportamento para x > 2 .

Então para essa função ser direfenciavel em x = 2 , a primeira coisa que temos que verificar é se ela é continua neste ponto.

Para verificar isso vamos ver se os limites laterais são iguais.

lim x → 2 ⁡ x 2 = 4

lim x → 2 ⁡ x + 2 = 4

São iguais, então a função é continua neste ponto!

Agora, se a função for contínua, ela pode ou não ser diferenciável, precisamos usar outro critério para avaliar.

Passo 2

O outro critério será que ela precisa ter suas derivadas laterais iguais e diferente de ± ∞ . Ou seja, no ponto x = 2 a função é diferenciável se:

f ' 2 + = f ' 2 - ≠ ± ∞

Para saber se a função é diferenciável num ponto qualquer, é só calcular as derivadas laterais nesse ponto. Logo,

Para x ≤ 2 , temos

f x = x 2

f ' x = 2 x

Logo,

f ' 2 = 2 2 = 4

Para x > 2 , temos

f x = x + 2

f ' x = 1

Ou seja,

f ' 2 + ≠ f ' 2 -

Logo a função não é diferenciavel no ponto x = 2 .

Resposta

Não é diferenciável.

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