Exercícios Resolvidos de Derivadas Laterais

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Enunciado

  1. Seja f x = | x - 3 | . Determine f + ' 3 e f - ' 3 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Assim como temos limites laterais, as funções também possuem derivadas laterais e é isso que temos que fazer nessa questão.

Mas, antes de começar, repara que temos uma função modular e ela pode ser descrita da seguinte forma:

f x = x - 3 = f x = f x = - ( x - 3 ) ,     x - 3 ≤ 0 x - 3 ,     x - 3 ≥ 0

Agora que já sabemos o comportamento da função para valores menores e maiores que 3 , podemos calcular os limites laterais.

Passo 2

Começando por f + ' 3 . Aqui estamos nos aproximando pela direita, ou seja, valores maiores que 3 , sendo o nosso resultado positivo.

Calculando a derivada usando a definição:

f + ' 3 = lim x → 3 + ⁡ x - 3 - 3 - 3 x - 3

f + ' ( 3 ) = lim x → 3 + ⁡ x - 3 x - 3 = 1

Passo 3

Agora vamos para f - ' 3 .

Calculando a derivada usando a definição:

f - ' 3 = lim x → 3 - ⁡ - x - 3 - - 3 - 3 x - 3

f - ' 3 = lim x → 3 - ⁡ - x - 3 x - 3 = - 1

Prontinho!

Resposta

f + ' 3 = 1

f - ' 3 = - 1

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