Exercícios Resolvidos de Derivadas Laterais

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Enunciado

3. Para f x = 9 - x 2 , mostre que f + ' - 3 e f - ' 3 não existem.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos que achar a para que a função seja difereciável. Então para fazermos essa questão temos que lembrar que para um ponto qualquer, dizemos que a função é diferenciável nesse ponto quando ela puder ser derivada nesse ponto.

Um fato interessante sobre esse assunto é que funções que não são contínuas em um certo ponto, automaticamente, não são diferenciáveis nesse ponto.

Agora, se a função for contínua, ela pode ou não ser diferenciável, precisamos usar outro critério para avaliar: ela precisa ter suas derivadas laterais iguais e diferente de ± ∞ .

f ' b - = f ' b + ≠ ± ∞

Agora vamos analisar cada ponto!

Passo 2

Começando por f + ' - 3 ! Aqui nós estamos calculando a derivada pela direita, ou seja, nos aproximando por valores maiores que - 3 .

Calculando a derivada usando a definição:

f + ' - 3 = lim x → - 3 + ⁡ 9 - x 2 - 9 - - 3 2 x - - 3

f + ' - 3 = lim x → - 3 + ⁡ 9 - x 2 x + 3 = lim x → - 3 + ⁡ x - 3 x + 3 x + 3

f + ' - 3 = lim x → - 3 + ⁡ x - 3 x + 3 = + ∞

Repara que temos uma constante dividindo por zero, logo esse limite vai para infinito. Como a derivada vai para infinito, a função não é diferenciavel.

Passo 3

Começando por f - ' 3 ! Aqui nós estamos calculando a derivada pela direita, ou seja, nos aproximando por valores menores que 3 .

Calculando a derivada usando a definição:

f - ' 3 = lim x → 3 - ⁡ 9 - x 2 - 9 - 3 2 x - 3

f - ' 3 = lim x → 3 - ⁡ 9 - x 2 x - 3 = lim x → 3 - ⁡ x - 3 x + 3 x - 3

f - ' 3 = lim x → 3 - ⁡ x + 3 x - 3 = + ∞

Repara que temos uma constante dividindo por zero, logo esse limite vai para infinito. Como a derivada vai para infinito, a função não é diferenciavel.

Resposta

Os limites associados a essas derivadas vão para infinito, logo a função não é diferenciavel neste ponto.

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