Exercícios Resolvidos de Derivadas Laterais

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Enunciado

Sendo f x = ln ⁡ x , calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = 1 .

Passo 1

Ué, perai, essa função não é definida por partes, as derivadas laterais vão ser com certeza iguais.

Pêêêêêêê

Não tão rápido meus caros. Isso ai não vai ser necessariamente verdade. O jeito da gente descobrir se é ou não e fazer a questão direito é lembrar da definição de módulo e aplicar nessa função. Veja bem:

x = x ,                           s e   x ≥ 0 - x ,     s e   x < 0

Então pra nossa função, vamos ter:

ln ⁡ x = ln ⁡ x ,                           s e   ln ⁡ x ≥ 0 - ln ⁡ x ,     s e   ln ⁡ x < 0

Ou ainda:

f x = ln ⁡ x ,                           s e   x ≥ 1 - ln ⁡ x ,     s e   x < 1

E ai sim conseguimos trabalhar. Então partiu!

Passo 2

Vamos ver se esse cara é contínuo em x = 1 . Se for, derivamos lateralmente, ou seja, precisamos verificar se:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = f 1

Primeiro vamos calcular o limite pela esquerda

lim x → 1 - ⁡ - ln ⁡ x = 0

Observa que x = 1 é definida pela mesma expressão ln ⁡ x , ou seja, f 1 = 0 . E, agora, vamos calcular o limite pela direita:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x = 0

Portanto, contínua em x = 1 ! Vamos derivá-lo lateralmente agora.

Passo 3

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = π , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( - ln ⁡ x ) d x = - 1 x

Como x = 1 :

f ' 1 - = - 1 1 = - 1

Já a derivada pela direita, em relação ao ponto x = 1 , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( ln ⁡ x ) d x = 1 x

Como x = 1 :

f ' 1 + = 1 x = 1

Ou seja, a nossa função até era contínua, mas não possuía derivadas laterais iguais em x = 1

Resposta

f ' 1 - = - 1

f ' 1 + = 1

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