Exercícios Resolvidos de Derivadas Laterais

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Enunciado

O gráfico a seguir representa a derivada f ' de uma função f contínua em ( - 2,1 ) .

Sobre f é INCORRETO afirmar que:

  1. f é crescente em ( - 1,0 )
  2. f tem ponto de inflexão em x = 0
  3. f ́e côncava para cima em ( - 1,0 )
  4. f tem um mínimo local em x = - 1
  5. f tem um máximo local em x = 0

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Uma bem clássica de análise de gráfico

Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas está incorreta. Então vamos começar pela primeira.

Ela diz que f é crescente em ( - 1,0 ) . E aí, é verdade? Bem, o que uma função precisa para ser crescente? Ela tem que ter derivada positiva, né? Então vamos olhar o gráfico da derivada nesse intervalo

Ora, podemos observar que nesse intervalo a derivada é positiva, logo a função é crescente. Então já sabemos que a primeira afirmação é verdadeira. Vamos para a segunda

Passo 2

A segunda afirmação diz que f tem ponto de inflexão em x = 0 . E aí, tem mesmo? Vale lembrar que um ponto de inflexão é aquele onde temos uma mudança na concavidade da função, ou seja, é o ponto(s) onde a derivada segunda é igual a zero.

Mas nós só temos o gráfico da derivada primeira, como pegamos informação da derivada segunda?

Bem, vamos lembrar que a derivada segunda é a derivada da derivada primeira. Que nós temos. E sabemos que os pontos onde a derivada de uma função é zero são os pontos onde a função para de crescer e começa a decrescer e vice-versa. Ou seja, são os pontos de ótimo locais.

E ao olharmos o gráfico de f ' vemos que x = 0 é justamente um desses pontos. Logo a segunda afirmação é verdadeira.

V ' ( x ) = ( 2 - 2 x ) ( 2   - 6 x )

Passo 3

A terceira afirmação diz que f ́e côncava para cima em ( - 1,0 ) . E aí, será que é verdade? Vamos olhar o gráfico

Bem, para f ser côncava para cima, precisamos que a derivada segunda seja positiva. E como a derivada segunda é a derivada de f ' . Ela ser positiva quer dizer que f ' é crescente. E fica claro ao olharmos o gráfico que f ' é crescente em ( - 1,0 ) . Então a terceira afirmação é verdadeira.

Vamos para a quarta afirmação. Ela diz que f tem um mínimo local em x = - 1 . Bem em x = - 1 f tem um ponto crítico, pois f ' nesse ponto é zero. Mas é um mínimo? Ao analisarmos o gráfico, vemos que antes de x = - 1 , f está decrescendo e depois de x = - 1 começa a crescer. O que implica que esse ponto é de mínimo local. Logo a quarta afirmação está correta,

Ou seja, só restou a última afirmação. Que necessariamente terá que ser falsa.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

e )

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