Exercícios Resolvidos de Derivadas Laterais

Elaboração prória

Sendo f ( x ) a função

f x = x   s e n ( x )           x π cos x + 1         x > π

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = π .

Passo 1

Vamos ver se esse cara é contínuo em x = π . Se for, derivamos lateralmente, ou seja, precisamos verificar se:

lim x π - f x = lim x π + f x = f π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite pela esquerda

lim x π - x sen x = π sen π = 0

Observa que x = π é definida pela mesma expressão x sen x , ou seja, f π = 0 .

Passo 3

Agora vamos calcular o limite pela direita

lim x π + f x = cos π + 1 = 0

Portanto, contínua em x = π ! Vamos derivá-lo lateralmente agora.

Passo 4

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = π , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( x   s e n x ) d x = s e n   x + x cos ( x )

Como x = π :

f ' π - = 0 + π - 1 = - π

Passo 5

A derivada pela direita, em relação ao ponto x = π , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( cos x + 1 ) d x = - s e n ( x )

Como x = π :

f ' π + = - 0 = 0

Resposta

f ' π - = - π

f ' π + = 0

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