Exercícios Resolvidos de Derivadas Laterais

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Enunciado

Sendo h ( x ) a função

h x = x 2 ,     x < 2 a x + b ,   x ≥ 2

Determine a , b para que as derivadas laterais de h x sejam iguais

Passo 1

Vamos ver se esse cara é contínuo em x = 2 . Se for, derivamos lateralmente, ou seja, precisamos verificar se:

lim x → 2 - ⁡ h x = lim x → 2 + ⁡ h x = f 2

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite pela esquerda

lim x → 2 - ⁡ x 2 = 4

E depois, pela direita:

lim x → 2 + ⁡ a x + b = 2 a + b

Observa que x = 2 é definida pela mesma expressão a x + b , ou seja, h 2 = 2 a + b

Sendo assim:

lim x → 2 - ⁡ h x = lim x → 2 + ⁡ h x = h 2

2 a + b = 4

Passo 3

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = 2 , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( x 2 ) d x = 2 x

Como x = 2 :

h ' 2 - = 2.2 = 4

A derivada pela direita, em relação ao ponto x = 2 , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( a x + b ) d x = a

Como x = 2 :

h ' 2 + = a

Passo 4

Pras derivadas laterais então serem iguais, fazemos:

h ' 2 - = h ' 2 +

4 = a

Opa, então conseguimos achar b !

2 a + b = 4

2.4 + b = 4

b = - 4

Resposta

h x = x 2 ,     x < 2 4 x - 4 ,   x ≥ 2

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