Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

Calculo 2 – UNICAMP – P1

Considere a função

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

  1. A função é contínua em 0,0 ? Justifique sua resposta.
  2. Calcule as derivadas parciais ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0,0
  3. Determine ∂ f ∂ x x , y e ∂ f ∂ y x , y para x , y ≠ 0,0 .
  4. f é diferenciável em 0,0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Agora temos que determinar as derivadas parciais nos pontos 0,0 .

Para este caso, precisamos utilizar a definição da derivada. Mas calma, não se assustem que será bem tranquilo. Para isto, basta fazermos as seguintes relações:

f x x 0 , y 0 = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h , y 0 - f x 0 , y 0 h

f y x 0 , y 0 = lim h → 0 ⁡ f x 0 , y 0 + h - f x 0 , y 0 h

Percebem que é bem semelhante ao caso de funções de uma única variável? A grande diferença aqui é que nossas contas são maiores! Temos que considerar agora tanto um x quanto um y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que nós entendemos o que precisamos fazer, basta substituirmos nas relações do Passo 1 a nossa função f no ponto x 0 , y 0 = 0,0 . Com isto, vamos obter:

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h , 0 - f 0,0 h = lim h → 0 ⁡ h ⋅ 0 h 2 + 0 2 - 0 h = lim h → 0 ⁡ 0 h = 0

f y 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0,0 + h - f 0,0 h = lim h → 0 ⁡ 0 ⋅ h 0 2 + h 2 - 0 h = lim h → 0 ⁡ 0 h = 0

Portanto, as derivadas parciais da nossa função no ponto 0,0 são:

∂ f ∂ x 0,0 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = 0

Resposta

As derivadas parciais da nossa função no ponto 0,0 são:

∂ f ∂ x 0,0 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = 0

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