Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

Seja

f x , y = x + 2 y x 2 + y 2 ,     x , y ≠ 0,0 . 0 ,     x , y = 0,0 .

1. Faça um esboço do conjunto Z = x , y ∈ R 2 ,   f x , y = 1 .

2. Determine se a função f é contínua na origem.

3. Calcule, se existirem, as derivadas parciais ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0,0 .

Passo 1

1. Vamos traduzir aquelas notações ali. Ele quer que a gente esboce f x , y = 1 . Quem é f x , y ? Essa função:

f x , y = x + 2 y x 2 + y 2

A gente acha f x , y = 1 , se igualar ela a 1 :

f x , y = x + 2 y x 2 + y 2 = 1 ∴ x + 2 y = x 2 + y 2

x 2 - x + y 2 - 2 y = 0

Como está no R 2 , a gente sabe que é uma curva. Aí vamos completar quadrados para entender que curva é essa.

x - 1 2 2 - 1 4 + y - 1 2 - 1 = 0

x - 1 2 2 + y - 1 2 = 5 4

Cara, isso é uma circunferência. Comparando com a equação geral da circunferência de raio r e centro x 0 , y 0 :

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Ela tem centro 1 2 , 1 e raio 5 2 . Aí desenhando uma circunferência com essas características:

Mas será que é só isso mesmo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não é não! Ao desenhar f x , y = 1 , a gente está fazendo uma curva de nível de f x , y em z = 1 . E ao fazer curvas de nível, a gente precisa representar o domínio da nossa função.

Como assim? Aquela expressão para f x , y que a gente usou

f x , y = x + 2 y x 2 + y 2

Só vale para x , y ≠ 0,0 . Então a curva que a gente achou a partir dela não está definida na origem. Aí na verdade, nosso esboço é aberto nesse ponto:

Como em x , y = 0,0 , f x , y = 0 , a origem realmente não pertence a nossa curva, que é o conjunto dos pontos onde f x , y = 1 . Então nosso esboço fica assim mesmo.

Passo 3

2. Olha para dizer se uma função é contíninua nesse ponto a gente precisa que o limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x + 2 y x 2 + y 2

Exista e seja igual a f 0,0 = 0 . Bora verificar isso.

Podemos usar o caminho y = m x nesse limite, para provar que ele não existe. Por que? Cara, o grau do numerador é menor do que o do denominador, então a gente vai suspeitar que ele não existe.

Fica assim:

lim x , y → 0,0 ⁡ x + 2 y x 2 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x + 2 m x x 2 + ( m x ) 2 = lim x → 0 ⁡ x x 1 + 2 m x + m 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 + 2 m x ( 1 + m 2 ) → ∞

Ih como o denominador zerou, o limite foi para infinito. Isso significa que esse limite não existe. E assim, nossa função não é contínua nesse ponto.

Passo 4

3. Como a nossa função muda de definição no ponto ( 0,0 ) , a gente vai ter que usar a definição de derivadas parciais. Para a derivada em relação a x :

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h ,   y 0 - f x 0 , y 0 h

∂ f ∂ x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h ,   0 - f 0,0 h

f 0 + h , 0 = f h , 0 = h + 2 ( 0 ) h 2 + 0 2 = 1 h

E a definição da função diz que f 0,0 = 0 :

∂ f ∂ x 0,0 = lim h → 0 ⁡ 1 h - 0 h = lim h → 0 ⁡ 1 h 2 → ∞

Passo 5

A derivada em relação a y fica bem parecida:

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim h → 0 ⁡ f x 0 ,   y 0 + h - f x 0 , y 0 h

∂ f ∂ y 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0,0 + h - f 0,0 h

f 0,0 + h = f 0 , h = 0 + 2 h 0 2 + h 2 = 2 h

∂ f ∂ y 0,0 = lim h → 0 ⁡ 2 h - 0 h = lim h → 0 ⁡ 2 h 2 → ∞

Como os dois limites explodiram para infinito, a gente vai dizer que as nossas derivadas parciais não existem na origem.

Resposta

a)

b) A função não é contínua na origem.

c) As derivadas parciais não existem na origem.

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