Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

A tabela abaixo representa os valores, em alguns pontos, da função f   :   R 2 → R que admite derivadas parciais segundas contínuas:

  1. Estime os valores de ∂ f ∂ x 5,10 e ∂ f ∂ x 5,2 0
  2. Estime o valor de ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( 5,10 ) . Dica: olhe para uma tabela de estimativas de ∂ f ∂ x .

Observação: tais estimativas devem ser coerentes com o que vimos em sala e não meras adivinhações.

Passo 1

a )

Então, a gente tá tendo que calcular a derivada parcial em relação a x , sendo que não temos a definição de f e a única informação que temos são os valores de f em alguns pontos. Como fazer?

Bom, já sei que não dá pra calcular a derivada normalmente, como estamos acostumados, pois não temos a definição da função.

Vamos apelar pra a tal da definição então, né mores?

Você lembra como era?

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Ok, mas de novo caímos no problema de não tem a expressão de f .

Mas aí eu te pergunto: não ter a expressão de f significa não poder calcular o valor exato da derivada. Mas isso não nos impede de estimar, que é, afinal, exatamente o que a questão tá pedindo. Acabou que não te perguntei nada, né? Rs

Então, podemos tirar esse limite e aproximar as paradas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nossas estimativas vão ficar então

∂ f ∂ x 5,10 ≈ f 10,10 - f 5,10 10 - 5

∂ f ∂ x 5,2 0 ≈ f 10,20 - f 5,20 10 - 5

Onde tínhamos f ( x , y 0 ) , a gente estipulou um valor pro x (e colocou o y 0 de interesse mesmo), de modo a termos uma aproximação.

Agora, olhando na tabela e substituindo os valores, ficamos com

∂ f ∂ x 5,10 ≈ 8 - 4 5 = 0,8

∂ f ∂ x 5,20 ≈ 7 - 2 5 = 1

Passo 3

b )

Agora queremos a derivada segunda de f em relação a x .

De novo, não temos a expressão de f , então vamos apelar para a definição de derivada parcial de ordem superior e dar aquela aproximada marota.

A definição é

∂ 2 f ∂ y ∂ x x 0 , y 0 = ∂ f ∂ y ∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ ∂ f ∂ x x 0 , y - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 y - y 0

Tirando o limite e aproximando, utilizando nossos valores:

∂ 2 f ∂ y ∂ x 5,10 ≈ ∂ f ∂ x 10,20 - ∂ f ∂ x 5,10 20 - 10

Ora, veja que surpresa: teremos que usar as derivadas parciais que calculamos na letra a .

Assim

∂ 2 f ∂ y ∂ x 5,10 ≈ 1 - 0,8 10 = 0,02

Resposta

  1. ∂ f ∂ x 5,10 ≈ 0,8

    ∂ f ∂ x 5,20 ≈ 1

∂ 2 f ∂ y ∂ x 5,10 ≈ 0,02

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