Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

Seja f   : R 2 → R a função definida por

f 0,0 = 0

f x , y = 5 x 2 y x 4 + 2 y 2         ,       s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 )

Indique a afirmativa falsa:

  1. f ( x , y ) é constante ao longo da parábola y = x 2
  2. f ( x , y ) é constante e igual a zero ao longo das retas y = 0 e x = 0
  3. f ( x , y ) é constante ao longo da reta y = x
  4. f ( x , y ) é descontínua na origem
  5. As derivadas parciais f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 ) existem e são iguais a zero.

Passo 1

Questão meio estranha, né?

Não dá pra saber direito por onde começar, o que que tem que fazer...

Mas ela tá falando sobre os valores da função por diferentes caminhos, fala de descontinuidade também... então, parece bastante que ela quer que a gente tente calcular limites ao longo desses caminhos e analise a continuidade da função.

Vamos começar calculando limites.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro ao longo da parábola y = x 2

lim x , y → ? , ? ⁡ 5 x 2 y x 4 + 2 y 2 = lim ? , ? → 0,0 ⁡ 5 x 2 x 2 x 4 + 2 x 2 2 = lim x , y → ? , ? ⁡ 5 x 4 3 x 4 = 5 3

Então é verdade mesmo: a função é contínua ao longo da parábola y = x 2 e vale 5 3 .

Passo 3

Agora vamos tentar os caminhos x = 0 e y = 0 .

Começando por x = 0 :

lim x , y → ? , ? ⁡ 5 x 2 y x 4 + 2 y 2 = lim x , y → ? , ? ⁡ 5 . 0 2 y 0 4 + 2 y 2 = 0

E pelo caminho y = 0 :

lim x , y → ? , ? ⁡ 5 x 2 y x 4 + 2 y 2 = lim x , y → ? , ? ⁡ 5 x 2 0 x 4 + 2 . 0 2 = 0

Verdade também então: a função é constante e igual a zero ao longo das retas x = 0 e y = 0 .

Passo 4

Agora vamos testar o cominho x = y :

lim x , y → ? , ? ⁡ 5 x 2 y x 4 + 2 y 2 = lim x , y → ? , ? ⁡ 5 x 2 x x 4 + 2 x 2 = lim x , y → ? , ? ⁡ 5 x 3 x 2 x 2 + 2 = lim x , y → ? , ? ⁡ 5 x x 2 + 2

Agora é um momento crucial, de muita atenção!!

Se fizermos ( x , y ) tender a ( 0,0 ) , esse limite de fato vai pra zero e vamos ser tentados a dizer que a função é constante ao longo da reta x = y .

Maaaas, isso não é uma verdade. Pois ser constante ao longo da reta x = y significa que, para qualquer valor de ( x , y ) , quando a função tivesse em cima dessa reta, ela deveria dar o mesmo valor.

E não é isso que acontece, pois se fizermos ( x , y ) tender a ( 1,1 ) , por exemplo, nossa função vai valer 5 3 .

Ou seja, para a função ser constante ao longo da reta x = y , a expressão final do limite não poderia depender de x (nem de y ). E é isso que acontece na letra a , que resolvemos no passo 2.

Então, achamos nossa afirmativa falsa. Mas vamos continuar testando as outras pra provar porque elas são verdadeiras.

Passo 5

Na letra d é o momento que vamos precisar analisar a continuidade da função na origem.

Mas na real, a gente meio que já fez isso.

Se você reparar, até aqui, já calculamos o limite da nossa função através de vários caminhos. E, mesmo que a gente não tenha entrado no mérito de se o ( x , y ) tende a ( 0,0 ) ou não (que a gente deveria fazer aqui, ao analisar a continuidade na origem), a gente já viu que independente disso, achamos valores diferentes conforme mudamos o caminho.

Isso significa que na real, esse limite não existe.

E se ele não existe, a função não pode ser contínua na origem.

Então essa afirmativa é verdadeira.

Passo 6

Para calcular as derivadas parciais de uma função definidas por partes, no ponto onde a função muda de definição, precisamos utilizar a definição de derivadas parciais, que é:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = l i m x → 0 5 x 2 0 x 4 + 2 . 0 2 - 0 x = l i m x → 0 0 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 5 . 0 2 y 0 4 + 2 y 2 - 0 y = l i m y → 0 0 = 0

Então, temos mais uma verdade. As derivadas parciais existem e valem zero.

Resposta

L e t r a   c

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