Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

Considere a função real de duas variáveis reais dada por

f u , v = 2 u 2 + v 2 u - v   ,   u ≠ v 0   ,   u = v

  1. Em quais pontos f admite derivadas parciais de primeira ordem? Determine ∂ f ∂ u e ∂ f ∂ v nestes pontos.
  2. Há pontos nos quais f não possui derivadas parciais? Justifique.

Passo 1

a )

Aqui temos uma função definida por partes, então podemos dizer que ela possui derivadas parciais em cada uma dessas partes.

Assim, ela possui derivadas parciais sempre que u ≠ v e u = v = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para encontrar as derivadas parciais, vamos precisar fazer isso para cada uma das partes que definimos no passo 1.

Para u ≠ v , temos que f é a composição de funções polinomiais, assim, para derivá-la, é só fazer como estamos acostumados, com todas aquelas regrinhas de derivação, no caso, vamos usar a regra do quociente:

f u , v = 2 u 2 + v 2 u - v

∂ f ∂ u = 4 u . u - v - 1 2 u 2 + v 2 u - v 2 = 2 u 2 - 4 u v - v 2 u - v 2

∂ f ∂ v = 2 v . u - v - ( - 1 ) 2 u 2 + v 2 u - v 2 = 2 u 2 + 2 u v - v 2 u - v 2

Passo 3

Agora, quando u = v = 0 , vamos ter que usar a definição de derivada parcial, por que né, não dá pra simplesmente derivar 0 ! Então vamos lá, para a derivada em relação a u ,

∂ f ∂ u u 0 , v 0 = lim u → u 0 ⁡ f u , v 0 - f u 0 , v 0 u - u 0

Colocando u 0 , v 0 = 0,0 , teremos:

∂ f ∂ u 0,0 = lim u → 0 ⁡ f u , 0 - f 0,0 u - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ u 0,0 = lim u → 0 ⁡ 2 u 2 u - 0 u = 2

E aí está! Nossa derivada em relação a u é 2 !

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a v . Pela definição,

∂ f ∂ v u 0 , v 0 = lim v → v 0 ⁡ f u 0 , v - f u 0 , v 0 v - v 0

∂ f ∂ v 0,0 = lim v → 0 ⁡ f 0 , v - f 0,0 v - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ v 0,0 = lim v → 0 ⁡ v 2 - v - 0 v = - 1

Derivada parcial em relação a v é - 1 !

Passo 5

b )

Acabamos de dizer que se u ≠ v ou se u = v = 0 então f tem derivadas parciais e inclusive, calculamos essas derivadas parciais.

Olhando pra nossa função:

f u , v = 2 u 2 + v 2 u - v   ,   u ≠ v 0   ,   u = v

A gente pode ver que os pontos que atendem u = v , mas u ≠ 0 e v ≠ 0 podem ser pontos problemáticos. Isso é um bom indício de que as derivadas parciais não estão definidas nesses pontos. Vamos ver?

Bom, nesse caso, a definição de f também é f u = v = 0 , assim, para fazer essa derivada parcial, vamos precisar usar a definição novamente.

Para u > 0

∂ f ∂ u ( u , u ) = lim u → 0 + ⁡ f u + h , u - f u , u h

∂ f ∂ u ( u , u ) = lim u → 0 + ⁡ 2 ( u + h ) 2 + u 2 u + h - u - 0 h

∂ f ∂ u ( u , u ) = lim u → 0 + ⁡ 3 u 2 + 4 u h + 2 h 2 h 2

∂ f ∂ u ( u , u ) = lim u → 0 + ⁡ 3 u 2 h 2 + 4 u h h 2 + 2 h 2 h 2

∂ f ∂ u u , u = lim u → 0 + ⁡ 3 u 2 h 2 + 4 u h + 2 = + ∞

Ou seja, essa derivada não existe.

Do mesmo modo, quando u < 0 :

∂ f ∂ u u , u = lim u → 0 - ⁡ 3 u 2 h 2 + 4 u h + 2 = + ∞

Passo 6

Além disso, se v > 0 :

∂ f ∂ v ( v , v ) = lim v → 0 + ⁡ f v , v + h - f v , v h

∂ f ∂ v ( v , v ) = lim v → 0 + ⁡ 2 v 2 + ( v + h ) 2 v - ( v + h ) - 0 h

∂ f ∂ v ( v , v ) = lim v → 0 + ⁡ 2 v 2 + ( v + h ) 2 - h - 0 h 2

∂ f ∂ v ( v , v ) = lim v → 0 + ⁡ - 3 v 2 + 2 v h + h 2 h 2

∂ f ∂ v v , v = lim v → 0 + ⁡ - 3 v 2 h 2 - 2 u h - 1 = - ∞

Ou seja, essa derivada não existe.

Do mesmo modo, quando v < 0 :

∂ f ∂ v v , v = lim v → 0 - ⁡ - 3 v 2 h 2 - 2 u h - 1 = - ∞

Assim, as derivadas parciais não existem quando u = v porém u ≠ 0 e v ≠ 0

Resposta

a ) f possui derivadas parciais sempre que u ≠ v e u = v = 0 .

Para u ≠ v :

∂ f ∂ u = 2 u 2 - 4 u v - v 2 u - v 2

∂ f ∂ v = 2 u 2 + 2 u v - v 2 u - v 2

Para u = v = 0 :

∂ f ∂ u 0,0 = 2

∂ f ∂ v 0,0 = - 1

b )   As derivadas parciais não existem quando u = v porém u ≠ 0 e v ≠ 0 .

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