Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 318, exercício 53.

Use a definição de derivada parcial como limite para calcular as derivadas parciais da função

f x , y = 1 - x + y - 3 x ² y

No ponto 1,2 .

Passo 1

Vamos começar pela derivada parcial em relação a x .

Pela definição:

f x x 0 , y 0 = lim x x 0 f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Colocando x 0 , y 0 = 1,2 , teremos:

f x 1,2 = lim x 1 f x , 2 - f 1,2 x - 1

Vamos calcular f 1,2

f 1,2 = 1 - 1 + 2 - 3 1 2 2 = - 4

Agora vamos substituir:

f x 1,2 = lim x 1 1 - x + 2 - 6 x ² - ( - 4 ) x - 1 = lim x 1 7 - x - 6 x ² x - 1

Usando a regra de L’Hospital:

f x 1,2 = lim x 1 7 - x - 6 x ² x - 1 = l i m x 1 - 1 - 12 x 1 = - 13

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a y . Pela definição,

f y x 0 , y 0 = lim y y 0 f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

f y 1,2 = lim y 2 f 1 , y - f 1,2 y - 2

Como f 1,2 = - 4 ,

f y 1,2 = lim y 2 1 - 1 + y - 3 ( 1 ) ² y - ( - 4 ) y - 2 = lim y 2 - 2 y + 4 y - 2

Pela regra de L’Hospital:

f y 1,2 = lim y 2 - 2 y + 4 y - 2 = l i m y 2 - 2 1 = - 2

Resposta

δ f δ x = - 13

δ f δ y = - 2

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