Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009,p.114, exercício 9a

Considere a função

f x , y = x y ² x 2 + y 2 , s e   x , y ≠ 0,0   0 , s e   x , y = 0,0

Determine as derivadas parciais δ f δ x 0,0 e δ f δ y 0,0 .

Passo 1

Aqui vamos ter que usar a definição de derivada parcial, por que né, não dá pra simplesmente derivar 0 ! Então vamos lá, para a derivada em relação a x ,

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Colocando x 0 , y 0 = 0,0 , teremos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ 0 - 0 x = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a y . Pela definição,

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 0 - 0 y = 0

Resposta

δ f δ x = 0

δ f δ y = 0

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