Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais pela Definição

UNICAMP, Cálculo 2, P1 2014 Noite questão 1, item b

Considere a função:

f x , y = x y 2 x 2 + y 4 , s e   x , y 0,0   0 , s e   x , y = 0,0

Determine as derivadas parciais δ f δ x 0,0 e δ f δ y 0,0 .

Passo 1

Aqui vamos ter que usar a definição de derivada parcial, por que né, não dá pra simplesmente derivar 0 ! Então vamos lá, para a derivada em relação a x ,

f x x 0 , y 0 = lim x x 0 f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Colocando x 0 , y 0 = 0,0 , teremos:

f x 0,0 = lim x 0 f x , 0 - f 0,0 x - 0

Como f 0,0 = 0 ,

f x 0,0 = lim x 0 0 x 2 - 0 x - 0 = 0 x 3 = 0

E aí está! Nossa derivada em relação a x é 0 !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a y . Pela definição,

f y x 0 , y 0 = lim y y 0 f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

f y 0,0 = lim y 0 f 0 , y - f 0,0 y - 0

Como f 0,0 = 0 ,

f y 0,0 = lim y 0 0 y 4 - 0 y - 0 = 0 y 5 = 0

Novamente, nossa derivada deu 0 . Derivada parcial em relação a y é 0 !

Resposta

δ f δ x = 0 , δ f δ y = 0

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