Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Aplicamos em uma matriz A 5 × 5 as seguintes operações elementares:

i   trocamos L 5 com L 4 ;

i i   L 4 ← L 4 + 3 L 2

i i i multiplicamos L 4 por - 4

Obtemos a matriz B = 6 1 2 3 1 0 2 5 - 1 1 0 0 - 1 3 - 5 0 0 0 3 2 0 0 0 0 1 . Calcule det ⁡ A .

Passo 1

Bom, primeiro vamos calcular o determinante de B . Como é uma matriz triangular, temos:

det ⁡ B = 6 1 2 3 1 0 2 5 - 1 1 0 0 - 1 3 - 5 0 0 0 3 2 0 0 0 0 1 = 6 ∙ 2 ∙ - 1 ∙ 3 ∙ 1 = - 36

Passo 2

Agora vamos ver como as operações elementares alteraram o determinante de A :

i trocando as linhas de lugar nós trocamos o sinal do determinante;

i i operação elementar, determinante inalterado;

i i i multiplicando uma linha por - 4 , também multiplicamos o determinante por - 4 ;

Aplicando essas alterações em det ⁡ A chegamos a det ⁡ B :

det ⁡ A ∙ - 1 ⏟ i ∙ 1 ⏟ i i ∙ - 4 ⏟ i i i = det ⁡ B

4 ∙ det ⁡ A = det ⁡ B

det ⁡ A = - 36 4 = - 9

Resposta

det ⁡ A = - 9

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Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
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