Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Seja A = u v uma matriz 2 × 2 cujas colunas são os vetores u e v . Suponha que det ⁡ A = 1 .   O determinante da matriz 3 u - 3 v 3 u + 2 v   vale:

(a) 15

(b) 16

(c) 18

(d) 19

Passo 1

Vamos criar uma matriz A que satisfaz as condições do enunciado, ou seja, uma matriz 2 × 2 com determinante igual a 1:

A = 2 1 1 1

Suas colunas são os vetores:

u = 2,1

v = 1,1

Beleza, agora vamos criar a matriz 3 u - 3 v 3 u + 2 v e ver o determinante dela.

Temos:

3 u - 3 v = 3 2,1 - 3 1,1 = 3,0

3 u + 2 v = 3 2,1 + 2 1,1 = 8,5

Ficamos com a matriz:

3 8 0 5

Cujo determinante vale:

d e t = 3 × 5 - 8 × 0 = 15

Resposta

(a) 15

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Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
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