Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Se

det ⁡ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = L

Então

det ⁡ - a 2 a 1 2 a 1 - 3 a 3 c 2 - b 2 b 1 - c 1 2 b 1 - 3 b 3 - 2 c 1 + 3 c 3 - b 2 b 1 2 b 1 - 3 b 3

É igual a

Passo 1

Faala pessoal!

Essa questão é sobre propriedades de determinantes. Sabemos que

det ⁡ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = L

E o que precisamos fazer é ir manipulando essa matriz até que ela vire isso aqui:

M = - a 2 a 1 2 a 1 - 3 a 3 c 2 - b 2 b 1 - c 1 2 b 1 - 3 b 3 - 2 c 1 + 3 c 3 - b 2 b 1 2 b 1 - 3 b 3

E conforme formos manipulando, precisamos ir lembrando que o determinante da matriz também muda. Vai ser assim olha:

- Quando trocamos linhas/colunas de lugar, o sinal do determinante muda

- Quando multiplicamos uma linha por um escalar, o determinante também é multiplicado por esse escalar

- Quando somamos linhas/colunas, o determinante não muda

Aí vamos mudando a nossa matriz até ela virar a matriz M e encontrar o novo determinante, baseado no determinante L que já temos, beleza?

Então vamoooos!

Passo 2

Sabemos que

det ⁡ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = L

Vamos começar a fazer as mudanças pra transformarmos essa matriz na matriz M = - a 2 a 1 2 a 1 - 3 a 3 c 2 - b 2 b 1 - c 1 2 b 1 - 3 b 3 - 2 c 1 + 3 c 3 - b 2 b 1 2 b 1 - 3 b 3

Primeiro vamos transpor a matriz. Isso não vai alterar o determinante:

det ⁡ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = L

Como a matriz M tem os b ' s na terceira linha e os c ' s na segunda, vamos trocar essas linhas de lugar. Isso vai trocar o sinal do determinante:

det ⁡ a 1 a 2 a 3 c 1 c 2 c 3 b 1 b 2 b 3 = - L

Trocando a primeira e a segunda coluna de lugar, o sinal muda novamente:

det ⁡ a 2 a 1 a 3 c 2 c 1 c 3 b 2 b 1 b 3 = L

Multiplicando a primeira coluna por - 1 , o sinal do determinante troca:

det ⁡ - a 2 a 1 a 3 - c 2 c 1 c 3 - b 2 b 1 b 3 = - L

Passo 3

Legal, por enquanto temos

det ⁡ - a 2 a 1 a 3 - c 2 c 1 c 3 - b 2 b 1 b 3 = - L

Estamos cada vez mais próximos da matriz M hehehe

Agora vamos fazer a segunda linha virar - L 2 + L 3 . Isso não muda o sinal do determinante porque estamos somando linhas

det ⁡ - a 2 a 1 a 3 c 2 - b 2 b 1 - c 1 b 3 - c 3 - b 2 b 1 b 3 = - L

Cara, a gente ta muito perto!! As duas primeiras colunas já estão prontinhas, iguais às da matriz M

Agora vamos só ajustar a terceira coluna

Multiplicando a terceira coluna por 3 , o determinante também vai ser multiplicado por 3 :

det ⁡ - a 2 a 1 3 a 3 c 2 - b 2 b 1 - c 1 3 b 3 - 3 c 3 - b 2 b 1 3 b 3 = - 3 L

Agora fazendo a terceira coluna receber - C 3 + 2 C 2 , o determinante não muda:

det ⁡ - a 2 a 1 - 3 a 3 + 2 a 1 c 2 - b 2 b 1 - c 1 - 3 b 3 + 3 c 3 + 2 b 1 - 2 c 1 - b 2 b 1 - 3 b 3 + 2 b 1 = - 3 L

Opa! Agora sim chegamos exatamente na matriz M :

M = - a 2 a 1 2 a 1 - 3 a 3 c 2 - b 2 b 1 - c 1 2 b 1 - 3 b 3 - 2 c 1 + 3 c 3 - b 2 b 1 2 b 1 - 3 b 3

E fazendo todas essas relações, encontramos o determinante dela:

- 3 L

Arrasamos muitooooo

Resposta

- 3 L

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Mostre qued e t ( A ) = (1)/(2) [[[t r (A)],[t r (A^2)]] [[1],[t r (A)]]] para qualquer matriz A de tamanho 2 xx 2 .
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