Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Calcule o determinante da matriz dada reduzindo à forma escalonada por linhas.

A = 3 6 - 9 0 0 - 2 - 2 1 5

Passo 1

E aí galerinha, tudo tranks? Esse exercício é quase como um final boss, mas não por ser difícil, e sim por exigir vários conhecimentos sobre matrizes; no fim de tudo, ela é bem tranquila e divertida de se fazer. Vamos ver então como resolvemos:

d e t 3 6 - 9 0 0 - 2 - 2 1 5 =   ?

Galera, antes de compreendermos o que é o escalonamento e como conseguimos obter o determinante a partir dele, vamos lembrar um pouco de matrizes triangulares. Vocês lembram as propriedades de uma matriz triangular?

Uma matriz triangular é aquela em que todos os elementos superiores ou inferiores à diagonal principal são zero:

a z y 0 b x 0 0 c   o u a 0 0 x b 0 y z c  

Dessa forma, independentemente da forma que calculemos o determinante, os termos vão ser multiplicados por zero em algum momento e zerar, salve a exceção da diagonal principal. Portanto, o determinante desse tipo de matriz é simplesmente o produto dos termos contidos na diagonal principal da matriz.

Sabendo disso, é aí que entra nosso truque😉

Passo 2

O escalonamento consiste em tornar uma matriz não triangular em triangular, simplesmente multiplicando nossas linhas por constantes e as somando. Vejamos na prática:

d e t 3 6 - 9 0 0 - 2 - 2 1 5 = a

i- Podemos transpor a segunda e terceira linha, de forma que a propriedade de matrizes nos garante que o determinante apenas muda de sinal:

d e t 3 6 - 9 - 2 1 5 0 0 - 2 = - a

ii- Multiplicar a segunda coluna por dois, que nos garante que o determinante será multiplicado por dois:

3 12 - 9 - 2 2 5 0 0 - 2 = - 2 a

iii- Somar a segunda coluna com a primeira e substituir no lugar da primeira coluna, o que, segundo as propriedades de matrizes, não altera o determinante:

15 12 - 9 0 2 5 0 0 - 2 = - 2 a

Pronto! Temos nossa matriz triangular, cujo determinante sabemos que é o produto dos termos na diagonal principal:

15 × 2 × - 2 = - 60 = - 2 a

Ora, temos então:

a = 15

Logo, nosso determinante é 15. E é isso gente boa!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

15

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