Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

O determinante da matriz 3 3 0 1 3 4 2 2 3 2 - 1 1 - 3 - 4 - 1 1 é:

( a ) 6

( b ) - 39

( c ) - 38

( d ) 7

Passo 1

Vamos dar uma escalonada aí na matriz, mas tomando cuidado para não alterar o determinante:

3 3 0 1 3 4 2 2 3 2 - 1 1 - 3 - 4 - 1 1 → L 2 ← L 2 - L 1 L 3 ← L 3 - L 1 L 4 ← L 4 + L 3 3 3 0 1 0 1 2 1 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 2 2 → L 3 ← L 3 + L 2 L 4 ← L 4 + 2 L 2 3 3 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 2 4 → L 4 ← L 4 - 2 L 3 3 3 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 2

Essas operações que nós fizemos não alteram o determinante, logo, o determinante daquela nossa matriz lá em cima é igual ao determinante dessa matriz triangular. E sabemos que o determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal!

3 3 0 1 3 4 2 2 3 2 - 1 1 - 3 - 4 - 1 1 = 3 3 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 2 = 3 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 2 = 6

Resposta

Letra ( a )

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Seja a matriz de ordem n + 1 (Vandermonde) A = 1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 1 a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 1 a n n Provar que det ⁡ A = ∏ 0 ≤ ij ≤ n a j - a i , onde
Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
Prove que os pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 e x 3 , y 3 são colineares se, e só se, x 1 x 2 x 3y 1 y 2 y 31 1 1 = 0
Use o exercício acima para mostrar que, dados números reais x 1x 2x 3 e y 1 , y 2 , y 3 quaisquer, existe um único polinômio f x = a x 2 + b x + c , de grau ≤ 2 , tal que f x 1 = y 1 ,f x 2 = y 2 e f
Seja H : V → V a hometetia H λ v = λ v , ∀ v ∈ V . Calcular det ⁡ H