Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Sabendo que

det ⁡ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 11 1 1 1 c = a

Calcule, em função de a :

det ⁡ 3 6 9 12 9 10 10 11 5 6 7 8 10 11 11 11 + c

a   3 a

b - 3 a

c - a

d   a

Passo 1

Podemos ver que o segundo determinante, o qual queremos calcular, é parecido com o primeiro só que com um bando de operações elementares. Nós sabemos que cada operação elementar surte efeito no determinante, assim, vamos descobrir quais as operações.

Observe que basta multiplicar a primeira linha do primeiro determinante para ficar igual a primeira linha do segundo L 1 ← 3 L 1 :

det ⁡ 3 6 9 12 5 6 7 8 9 10 10 11 1 1 1 c = 3 a

Isso faz com que o determinante fique multiplicado pelo escalar que multiplicou a linha.

Agora, veja que a segunda e a terceira linha foram trocadas, L 2 ↔ L 3 :

det ⁡ 3 6 9 12 9 10 10 11 5 6 7 8 1 1 1 c = - 3 a

Isso faz com que o determinante troque de sinal.

Passo 2

A última coisa foi somar a segunda linha, dessa última matriz, com a última linha, L 4 ← L 4 + L 2 :

det ⁡ 3 6 9 12 9 10 10 11 5 6 7 8 10 11 11 11 + c = - 3 a

Isso não altera em nada o determinante.

Resposta

Letra ( b )

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Seja a matriz de ordem n + 1 (Vandermonde) A = 1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 1 a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 1 a n n Provar que det ⁡ A = ∏ 0 ≤ ij ≤ n a j - a i , onde
Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
Prove que os pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 e x 3 , y 3 são colineares se, e só se, x 1 x 2 x 3y 1 y 2 y 31 1 1 = 0
Use o exercício acima para mostrar que, dados números reais x 1x 2x 3 e y 1 , y 2 , y 3 quaisquer, existe um único polinômio f x = a x 2 + b x + c , de grau ≤ 2 , tal que f x 1 = y 1 ,f x 2 = y 2 e f
Seja H : V → V a hometetia H λ v = λ v , ∀ v ∈ V . Calcular det ⁡ H