Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Seja n ≥ 2 um inteiro. Assinale a alternativa correta:

a )   se A e B são matrizes reais n   × n tais que A B = 0 , então A = 0 ou B = 0

b ) se A é uma matriz real n   × n tal que det ⁡ A = 0 , então existe uma matriz real n × n não nula B tal que A B = 0

c ) se A   e C são matrizes reais n × n e det ⁡ A = 0 ,   então existem infinitas matrizes B reais n × n tais que A B = C

d ) se A é uma matriz real n × n tal que det ⁡ A = 0 e B é uma matriz real n × n arbitrária, então A B = 0

e ) se A e B são matrizes n × n tais que det ⁡ A ≠ 0 e det ⁡ B ≠ 0 , então A B = B A

Passo 1

Falaaaa, belezinha?? Bora para mais uma questãozinha dessa prova, agora envolvendo algumas propriedades de matrizes e multiplicação.

Para analisar as alternativas, vamos começar pela primeira e ir até acertar.

a )   se A e B são matrizes reais n   × n tais que A B = 0 , então A = 0 ou B = 0

Para isso, vamos tomar:

A =   1 0 1 0   e   B =   0 0 1 1

Veja que A B = 0 e elas são não nulas, ou seja, a afirmação é falsa

Passo 2

Bom, acabou acontecendo algo interessante, pois o exemplo que demos na letra a já nos mostra que a letra b é verdadeira, pois veja que:

A =   1 0 1 0   e   B =   0 0 1 1

E temos que

det ⁡ 1 0 1 0 = 0

Além disso B é não nula, porem A B = 0

Assim acaba mais um probleminha dessa prova, bora para o próximo??

Resposta

Letra B

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Mostre qued e t ( A ) = (1)/(2) [[[t r (A)],[t r (A^2)]] [[1],[t r (A)]]] para qualquer matriz A de tamanho 2 xx 2 .
Prove que os pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 e x 3 , y 3 são colineares se, e só se, x 1 x 2 x 3y 1 y 2 y 31 1 1 = 0
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