Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Calcule, em função de a ,   b ,   c ,   d ∈ R , o determinante da matriz M abaixo,

M = a a a a a b b b a b c c a b c d

Passo 1

A matriz é de ordem 4 , então vamos escalonar. Para zerar a 1ª coluna, é só fazer

L 2 ← L 2 - L 1

L 3 ← L 3 - L 1

L 4 ← L 4 - L 1

Aí fica:

det ⁡ M = a a a a 0 b - a b - a b - a 0 b - a c - a c - a 0 b - a c - a d - a

Passo 2

Agora vamos tentar zerar a segunda coluna abaixo de b - a (terceira e quarta linhas):

L 3 ← L 3 - L 2

L 4 ← L 4 - L 2

Então:

det ⁡ M = a a a a 0 b - a b - a b - a 0 0 c - b c - b 0 0 c - b d - b

Passo 3

Agora é só zerar a terceira coluna na última linha, fazendo L 4 ← L 4 - L 3 :

det ⁡ M = a a a a 0 b - a b - a b - a 0 0 c - b c - b 0 0 0 d - c

Passo 4

Agora a matriz é triangular, então precisamos só multiplicar os elementos da diagonal principal:

det ⁡ M = a b - a c - b ( d - c )

Resposta

det ⁡ M = a b - a c - b ( d - c ) .

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Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
Prove que os pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 e x 3 , y 3 são colineares se, e só se, x 1 x 2 x 3y 1 y 2 y 31 1 1 = 0
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