Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Calcule o determinante da matriz abaixo:

(a) det ⁡ A = - 18

(b) det ⁡ A = - 24

(c) det ⁡ A = - 30

(d) det ⁡ A = - 36

Passo 1

Uma forma esperta de calcular o determinante de matrizes de dimensão maior que 3 é usando o escalonamento.

Quando temos uma matriz triangular, o determinante dela é o produto dos elementos da diagonal principal. E quando escalonamos uma matriz, obtemos uma matriz triangular superior!

Mas temos que tomar cuidado com algumas coisinhas:

  • Quando você troca linhas ou colunas, o sinal do determinante muda;
  • Quando você multiplica uma linha por um escalar, o determinante fica multiplicado por esse escalar;
  • Se você troca uma linha/coluna pela soma dessa linha/coluna com um múltiplo de uma outra, o determinante não se altera.

Então vamos escalonar essa matriz pra achar o determinante!

Passo 2

Escalonando:

L 1 ← 1 3 L 1

L 2 ← L 2 - 4 L 1

L 3 ← L 3 - 5 L 1

L 4 ← L 4 - 7 L 1

Como essa matriz U é triangular superior:

det ⁡ U = 1 × 2 × 1 × - 4 = - 8

Mas pra obtermos U, teve uma hora que dividimos uma das linhas da matriz A por 3, então o determinante de A também foi dividido por 3.

Logo:

det ⁡ A = 3 × det ⁡ U

det ⁡ A = - 24

Resposta

(b) det ⁡ A = - 24

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Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
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