Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Calcule o determinante da matriz

M = 1 2 0 0 2 1 2 0 0 2 1 - 1 0 0 - 1 1

a   det ⁡ M = - 3

b   det ⁡ M = 4

c   det ⁡ M = - 4

d det ⁡ M = 3

Passo 1

Como a matriz está cheio de zeros abaixo da diagonal, vamos terminar de escaloná-la para calcular o determinante, já que o determinante de uma matriz triangular é fácil de calcular :D.

OBS: Preste bastante atenção nas operações elementares que vamos usar! Lembre-se que elas alteram o determinante!

1 2 0 0 0 - 3 2 0 0 2 1 - 1 0 0 - 1 1 L 2 ← L 2 - 2 L 1

1 2 0 0 0 - 3 2 0 0 0 7 3 - 1 0 0 - 1 1 L 3 ← L 3 + 2 3 L 2

1 2 0 0 0 - 3 2 0 0 0 7 3 - 1 0 0 0 4 7 L 4 ← L 4 + 3 7 L 3

Passo 2

Agora, repare que fizemos operações do tipo L i ← L i + L j ,   i ≠ j e isso não altera o determinante! Então basta multiplicamos os elementos da diagonal e sermos felizes!

det ⁡ M = 1 ⋅ - 3 ⋅ 7 3 ⋅ 4 7 = - 4 ⇒

det ⁡ M = - 4

Resposta

Letra ( c )

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Seja a matriz de ordem n + 1 (Vandermonde) A = 1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 1 a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 1 a n n Provar que det ⁡ A = ∏ 0 ≤ ij ≤ n a j - a i , onde
Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
Prove que os pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 e x 3 , y 3 são colineares se, e só se, x 1 x 2 x 3y 1 y 2 y 31 1 1 = 0
Use o exercício acima para mostrar que, dados números reais x 1x 2x 3 e y 1 , y 2 , y 3 quaisquer, existe um único polinômio f x = a x 2 + b x + c , de grau ≤ 2 , tal que f x 1 = y 1 ,f x 2 = y 2 e f
Seja H : V → V a hometetia H λ v = λ v , ∀ v ∈ V . Calcular det ⁡ H