Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

Ver Teoria

Enunciado

Calcule o determinante da matriz 3 4 4 1 1 0 1 5 0 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 1 1 3 3 1 5 :

(a) 8

(b) 9

(c) - 9

(d) 0

Passo 1

Como a matriz é 5 × 5 vou calcular o determinante escalonando:

3 4 4 1 1 0 1 5 0 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 1 1 3 3 1 5 → L 4 ⟷ L 1 1 4 4 3 1 0 1 5 0 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 1 1 3 3 1 5 → L 2 ⟶ L 2 - 4 L 1 L 3 ⟶ L 3 - 4 L 1 L 4 ⟶ L 4 - 3 L 1 L 5 ⟶ L 5 - L 1 1 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 1 0 0 1 - 2 - 2 - 2 0 1 - 1 - 1 - 2 4

1 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 1 0 0 1 - 2 - 2 - 2 0 1 - 1 - 1 - 2 4 → L 3 ⟶ L 3 - 5 L 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 - 2 8 - 2 0 1 - 1 4 - 2 4

O determinante dessa matriz vai ser o produto dos elementos que estão da diagonal:

det ⁡ A ' = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ - 2 ∙ 4 = - 8

Passo 2

Passo 3

A parada é que algumas operações do escalonamento mudam o determinante. No nosso caso a única operação que mudou o determinante foi quando troquei as linhas de lugar. Esse ato muda o sinal dele, assim, o nosso determinante vai ser:

det ⁡ A = 8

Resposta

a

Exercícios de Livros Relacionados

Seja a matriz de ordem n + 1 (Vandermonde) A = 1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 1 a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 1 a n n Provar que det ⁡ A = ∏ 0 ≤ ij ≤ n a j - a i , onde
Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
Prove que os pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 e x 3 , y 3 são colineares se, e só se, x 1 x 2 x 3y 1 y 2 y 31 1 1 = 0
Use o exercício acima para mostrar que, dados números reais x 1x 2x 3 e y 1 , y 2 , y 3 quaisquer, existe um único polinômio f x = a x 2 + b x + c , de grau ≤ 2 , tal que f x 1 = y 1 ,f x 2 = y 2 e f
Seja H : V → V a hometetia H λ v = λ v , ∀ v ∈ V . Calcular det ⁡ H