Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Considere as matrizes A = - 1 4 - 1 3 2 - 2 0 0       3 2 7 0 1 0 1 1 e B = 1 0 0 1 1 - 1 0 3 1 .

(a) Calcule o determinante de A. Esta matriz A é inversível?

Passo 1

Temos formas específicas para calcular determinante de matrizes 2 × 2 e 3 × 3 , né? Mas a questão deu pra gente uma matriz 4 × 4 !! E agora?

Quando escalonamos uma matriz, estamos aplicando operações elementares em suas linhas. E, quando fazemos operações desse tipo, não mudamos o determinante da matriz!

Tá, mas no final vamos continuar com uma matriz 4 × 4 , e aí?

Nesse caso, lembra que a matriz escalonada que vamos ter no final vai ser uma matriz diagonal superior e que o determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos que estão na diagonal principal!!

Combinando essas duas informações, vai ficar muito mais fácil resolver esse problema.

Passo 2

Vamos escalonar a matriz A.

- 1 4 - 1 3 2 - 2 0 0       3 2 7 0 1 0 1 1 ~ ⏞ ( i ) - 1 4 0 - 1 2 - 2 - 2 2       3 2 7 0 1 0 1 1 ~ ⏞ ( i i )   - 1 4 0 - 1 2 - 2 - 2 2       0 14 7 0 7 - 6 1 1

~ ⏞ ( i i i ) - 1 4 0 - 1 2 - 2 - 2 2       0 14 0 28 7 - 6 15 - 13 ~ ⏞ ( i v ) - 1 4 0 - 1 2 - 2 - 2 2       0 0 0 28 - 21 22 15 - 13

~ ⏞ ( v ) - 1 4 0 - 1 2 - 2 - 2 2       0 0 0 0 - 21 22 - 41 43 ~ ⏞ ( v i ) - 1 4 0 - 1 2 - 2 - 2 2       0 0 0 0 - 21 22 0 1 21

Passo (i): L 2 ← L 2 + ( - 1 ) L 1

Passo (ii):   L 3 ← L 3 + 3 L 1

Passo (iii):   L 4 ← L 4 + 7 L 1

Passo (iv):   L 3 ← L 3 + 14 L 2

Passo (v):   L 4 ← L 4 + 28 L 2

Passo (vi):   L 4 ← L 4 + ( - 41 21 ) L 3

Agora temos uma matriz diagonal superior que vamos chamar de U.

O determinante de U é igual a:

D e t U = - 1 - 1 - 21 1 21 = - 1

Como essa matriz tem o mesmo determinante que a matriz original, o determinante de A vai ser:

D e t A = D e t U = - 1

Como

D e t A ≠ 0

Então A é inversível.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
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