Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Diga qual das matrizes abaixo não tem determinante nulo:

a   A = 1 - 4 5 2 0 0 3 2 0 0 2 1 0 0 0 6

b   B = 2 6 - 3 - 9

c   C = 1 4 9 15

d   D = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Passo 1

A matriz da letra ( a ) é triangular, então seu determinante é o produto dos elementos que estão na diagonal principal:

det ⁡ A = 1 × 0 × 2 × 6 = 0

Passo 2

Na matriz B a 2 ª coluna é igual à 1 ª coluna multiplicada por 3 .

Então as colunas são LD, logo seu determinante é zero. Mas você também pode calcular:

2 6 - 3 - 9 = 2 × - 9 - 6 × - 3 = - 18 + 18 = 0

Passo 3

Na C , nem as colunas nem as linhas da matriz são múltiplas uma da outra, então a matriz é L I , e seu determinante é diferente de zero. Mas, se quiser, podemos também calcular:

1 4 9 15 = 1 × 15 - 9 × 4 = 15 - 36 = - 21 ≠ 0

Passo 4

Aí essa D já não é tão simples.

Vamos escalonar.

Fazendo L 2 ← - L 2 + 4 L 1 e também L 3 ← - L 3 + 7 L 1 :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ~ 1 2 3 0 3 6 0 6 12

Olha só, nem precisamos escalonar tudo!

Sabe por quê?

O determinante não muda quando fazemos combinações lineares entre as linhas.

E essa última matriz é L D , pois a 3 ª linha é o dobro da 2 ª ! Então a matriz original também é L D !

Por isso seu determinante é 0 também!

Logo, só a matriz C não tem determinante nulo.

Resposta

Apenas a matriz C

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Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
Prove que os pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 e x 3 , y 3 são colineares se, e só se, x 1 x 2 x 3y 1 y 2 y 31 1 1 = 0
Use o exercício acima para mostrar que, dados números reais x 1x 2x 3 e y 1 , y 2 , y 3 quaisquer, existe um único polinômio f x = a x 2 + b x + c , de grau ≤ 2 , tal que f x 1 = y 1 ,f x 2 = y 2 e f
Seja H : V → V a hometetia H λ v = λ v , ∀ v ∈ V . Calcular det ⁡ H