Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Seja

A = 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2

com a , b , c reais arbitrários. Então:

a   det ⁡ A = b - a a - c c - b

b   det ⁡ A = b - a c - a c - b

c   det ⁡ A = b 2 - a 2 a 2 - c 2 c 2 - b 2

d det ⁡ A = b 2 - a 2 b - a b + c

Passo 1

Se prepara que você vai ter que fazer umas manipulações macabras agora haha. Primeiro vamos dar uma mechida na matriz através de algumas operações elementares. Com cuidado para não alterarmos o determinante:

1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 → L 3 ← L 3 - L 2 1 a a 2 1 b b 2 0 c - b c 2 - b 2 → L 2 ← L 2 - L 1 1 a a 2 0 b - a b 2 - a 2 0 c - b c 2 - b 2

Ta, agora vamos encontrar o determinante disso por Laplace:

1 a a 2 0 b - a b 2 - a 2 0 c - b c 2 - b 2 = b - a b 2 - a 2 c - b c 2 - b 2 = b - a c 2 - b 2 - c - b b 2 - a 2 =

= b - a c - b c + b - c - b b - a b + a =

= b - a c - b c + b - b + a = b - a c - b c - a

E assim, chegamos na letra b .

Resposta

Letra ( b )

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Seja a matriz de ordem n + 1 (Vandermonde) A = 1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 1 a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 1 a n n Provar que det ⁡ A = ∏ 0 ≤ ij ≤ n a j - a i , onde
Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
Prove que os pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 e x 3 , y 3 são colineares se, e só se, x 1 x 2 x 3y 1 y 2 y 31 1 1 = 0
Use o exercício acima para mostrar que, dados números reais x 1x 2x 3 e y 1 , y 2 , y 3 quaisquer, existe um único polinômio f x = a x 2 + b x + c , de grau ≤ 2 , tal que f x 1 = y 1 ,f x 2 = y 2 e f
Seja H : V → V a hometetia H λ v = λ v , ∀ v ∈ V . Calcular det ⁡ H