Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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Enunciado

Seja A = u v uma matriz 2 × 2 cujas colunas são os vetores u e v .   Considere a matriz B = v 5 u - 4 v , cujas colunas são os vetores v e 5 u - 4 v . Então:

(a) d e t ( B ) = d e t ( A )

(b) d e t ( B ) = - d e t ( A )

(c) d e t ( B ) = 5 d e t ( A )

(d) d e t ( B ) = - 5 d e t ( A )

Passo 1

Vamos lembrar que, quando fazemos operações com as linhas/colunas da matriz, o determinante dela pode ser alterado da seguinte forma:

  • Quando você troca linhas ou colunas, o sinal do determinante muda;
  • Quando você multiplica uma linha por um escalar, o determinante fica multiplicado por esse escalar;
  • Se você troca uma linha/coluna pela soma dessa linha/coluna com um múltiplo de uma outra, o determinante não se altera.

Passo 2

No começo tínhamos uma matriz:

A = u v

E no final obtemos a matriz:

B = v 5 u - 4 v

Ou seja, trocamos duas colunas de lugar (e mudamos o sinal do determinante) e ainda multiplicamos uma coluna 5, logo o determinante também ficou multiplicado 5.

Depois, quando fizemos:

C 2 ← C 2 - 4 C 1

não alteramos o determinante.

Logo:

det ⁡ B = - 5 d e t ⁡ ( A )

Resposta

(d) d e t ( B ) = - 5 d e t ( A )

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