Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

Ver Teoria

Enunciado

Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n . Considere as seguintes afirmações:

I Se A ~ B através de uma operação que substitui uma linha por uma soma entre outras linhas, então det ⁡ A = det ⁡ B .

I I det ⁡ α A = α n det ⁡ A , para todo α ∈ R .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I :

A operação que não altera o determinante é do tipo:

L i ← L i + λ L j ,   λ ∈ R

É uma soma que envolve a linha que está sendo substituída! Na afirmativa ele fala sobre substituir uma linha por uma soma entre outras linhas, ou seja, dá a entender que a linha que estamos substituindo não aparece nessa soma. Então isso altera sim o determinante! Falsa.

Afirmativa I I :

Sabemos que quando multiplicamos alguma linha da matriz por um escalar α ∈ R , seu determinante também é multiplicado por α . Então, se multiplicarmos todas as n linhas de uma matriz por α , seu determinante vai ser multiplicado por α n ! Verdadeira.

Resposta

Letra ( d ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Seja a matriz de ordem n + 1 (Vandermonde) A = 1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 1 a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 1 a n n Provar que det ⁡ A = ∏ 0 ≤ ij ≤ n a j - a i , onde
Mostre que d e t ⁡ ( A ) = 1 2 t r A t r A 21 t r A para qualquer matriz A de tamanho 2 × 2 .
Prove que os pontos x 1 , y 1 , x 2 , y 2 e x 3 , y 3 são colineares se, e só se, x 1 x 2 x 3y 1 y 2 y 31 1 1 = 0
Use o exercício acima para mostrar que, dados números reais x 1x 2x 3 e y 1 , y 2 , y 3 quaisquer, existe um único polinômio f x = a x 2 + b x + c , de grau ≤ 2 , tal que f x 1 = y 1 ,f x 2 = y 2 e f
Seja H : V → V a hometetia H λ v = λ v , ∀ v ∈ V . Calcular det ⁡ H