Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

CEFET - EDO - P2 Hélder 2014.2 – 2 modificada

Considere o PVI:

2 y ' ' + 5 y ' + 2 y = cos ⁡ ( 3 t ) ,   y 0 = 1 ,   y ' 0 = 4

a) Ache a transformada de Laplace da solução deste PVI.

b) Expresse a solução particular y ( t ) do PVI em função de uma convolução

Passo 1

a)

Utilizando a propriedade de Laplace, transformada da derivada:

L y ' s = s L y s - y 0

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ´ ( 0 )

Com as condições iniciais

L y ' = s L y - 1

L y ' ' = s 2 L y - s - 4

Aplicando a transformada na EDO:

L 2 y ' ' + 5 y ' + 2 y = L [ cos ⁡ 3 t ]

Mas sabemos que:

L 2 y ' ' + 5 y ' + 2 y = 2 L y ' ' + 5 L y ' + 2 L [ y ]

Substituindo as transformadas:

L 2 y ' ' + 5 y ' + 2 y = 2 s 2 L y - s - 4 + 5 s L y - 1 + 2 L [ y ]

Arrumando:

L 2 y ' ' + 5 y ' + 2 y = L y 2 s 2 + 5 s + 2 - 2 s - 13

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora o lado direito:

L cos ⁡ 3 t = s s 2 + 9

Assim a EDO fica:

2 s 2 + 5 s + 2 L y s - 2 s - 13 = s s 2 + 9

Jogando os termos sem Laplace para o lado direito:

2 s 2 + 5 s + 2 L y s = s s 2 + 9 + 2 s + 13

Vou dividir tudo por 2 :

s 2 + 5 2 s + 1 L y s = 1 2 s s 2 + 9 + s + 13 2

Colocando L [ y ] ( s ) em evidência:

L y s = 1 2 s s 2 + 9 s 2 + 5 2 s + 1 + s + 13 2 s 2 + 5 2 s + 1

Eita que doidera, né?! Mas a letra a já foi!

Passo 3

b) Agora pra letra b , vamos pegar o resultado da a e arrumar de novo:

L y s = 1 2 s s 2 + 9 s 2 + 5 2 s + 1 + s + 13 2 s 2 + 5 2 s + 1

L y s = 1 s 2 + 5 2 s + 1 1 2 s s 2 + 9 + s + 13 2

Porque isso ajuda a gente? Bem, porque podemos usar a propriedade distributiva da integral de convolução!

f * g 1 + g 2 = f * g 1 + f * g 2

L f * g 1 + g 2 = L f ∙ L g 1 + g 2

L f * g 1 + g 2 = L f ∙ L g 1 + L g 2

Dessa forma, temos que:

L f t = 1 s 2 + 5 2 s + 1

L g 1 t = 1 2 s s 2 + 9

L g 2 t = s + 13 2

Mas opa, dois desses aí são tranquilos, vamos ter:

L - 1 1 2 s s 2 + 9 = g 1 t = 1 2 cos ⁡ ( 3 t )

L - 1 s + 13 2 = g 2 t = L - 1 s + L - 1 13 2 = δ ' t + 13 2 δ t

O que sobrou a gente tenta achar a transformada inversa também

L - 1 1 s 2 + 5 2 s + 1 = L - 1 1 s + 1 2 s + 2

Utilizando frações parciais

1 s + 1 2 s + 2 = A s + 1 2 + B s + 2

Assim obteremos o seguinte sistema

A + B = 0 2 A + B 2 = 1

E encontraremos que

A = 2 3   ,     B = - 2 3    

E assim,

L - 1 1 s + 1 2 s + 2 = L - 1 2 3 s + 1 2 - 2 3 ( s + 2 ) = 2 3   L - 1 1 s + 1 2 - 1 s + 2

E desses dois dentro dos colchetes nós sabemos a transformada inversa.

Com isso podemos concluir que:

L - 1 1 s 2 + 5 2 s + 1 = 2 3   L - 1 1 s + 1 2 - 1 s + 2 = 2 3 e - t 2 - 2 3 e - 2 t

Chegamos ao fim, vamos ter:

f t = 2 3 e - t 2 - 2 3 e - 2 t

g t = g 1 t + g 2 t = 1 2 cos ⁡ ( 3 t ) + δ ' t + 13 2 δ t

E dá uma olhada nisso: Tá vendo que temos um produto de transformadas? E nós sabemos quais funções deram origem a essas transformadas! Então o que temos que fazer é só escrever na forma da definição de convolução igual aqui em baixo!

L y s = L f * g 1 + g 2 = L f * g

y p = f * g = ∫ 0 t f τ   g t - τ d τ

y p = ∫ 0 t 2 3 e - τ 2 - 2 3 e - 2 τ 1 2 cos ⁡ ( 3 ( t - τ ) ) + δ ' ( t - τ ) + 13 2 δ ( t - τ ) d τ

y p = ∫ 0 t 1 3 e - τ 2 - 1 3 e - 2 τ cos ⁡ ( 3 ( t - τ ) ) + 2 δ ' ( t - τ ) + 13 δ ( t - τ ) d τ

y p = 1 3 ∫ 0 t e - τ 2 - e - 2 τ cos ⁡ ( 3 t - 3 τ ) + 2 δ ' ( t - τ ) + 13 δ ( t - τ ) d τ

Pronto!

Resposta

a )   L y s = 1 2 s s 2 + 9 s 2 + 5 2 s + 1 + s + 13 2 s 2 + 5 2 s + 1

b )   y p = 1 3 ∫ 0 t e - τ 2 - e - 2 τ cos ⁡ ( 3 t - 3 τ ) + 2 δ ' ( t - τ ) + 13 δ ( t - τ ) d τ

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