Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

Integral de convolução

Considere o p.v.i.

2 y ' + y = f t

Com

y 0 = 1

Usando transformada de Laplace mostre que a solução é

y t = e - t / 2 + h t ∫ 0 t f τ e τ / 2 d τ

Onde

h t = 1 2 e - t / 2

Passo 1

Vamos começar aplicando transformada de Laplace à equação. Temos que:

L 2 y ' + y = L f t

2 L y ' + L y = L f t

Sabemos que

L y ' s = s L y s - y 0

Vamos fazer

F s = L f t

Substituindo na equação vamos ter

2 s L y s - y ( 0 ) + L y s = F ( s )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos substituir o valor inicial e isolar L y s

2 s L y s - 1 + L y s = F ( s )

2 s L y s - 2 + L y s = F ( s )

L y s 2 s + 1 = F s + 2

L y s = F s + 2 2 s + 1

L y s = F s 2 s + 1 + 2 2 s + 1

Lembrando que

L e - a t = 1 s + a

Vamos arrumar essas duas parcelas da soma para aparecer uma soma de s com alguém no denominador,

Temos que

2 s + 1 = 2 s + 1 2

Então

L y s = F s 2 s + 1 2 + 2 2 s + 1 2

L y s = 1 2 F s s + 1 2 + 1 s + 1 2

Vamos ter

L e - t / 2 = 1 s + 1 2

Assim

L y s = 1 2 F s s + 1 2 + L e - t / 2

Falta acharmos a transformada inversa daquele cara com F s

Passo 3

Vamos ver a transformada inversa de

H s = F s s + 1 2

Com

L h ( t ) = H s

Sabemos que

L f ( t ) = F s

e

L e - t / 2 = 1 s + 1 2

Como temos um produto aí vamos usar Convolução, isso porque vamos ter

L h t =   L f t ∙   L e - t / 2

Assim

h t = ∫ 0 t f τ e - t - τ 2 d τ

h t = e - t / 2 ∫ 0 t f τ e τ / 2 d τ

Passo 4

Assim vamos ter

L y s = 1 2 L e - t / 2 ∫ 0 t f τ e τ / 2 d τ + L e - t / 2

L y s = L 1 2 e - t / 2 ∫ 0 t f τ e τ / 2 d τ + e - t / 2

E vamos ter

y = 1 2 e - t / 2 ∫ 0 t f τ e τ / 2 d τ + e - t / 2

Como ele queria mostrar

Resposta

y = 1 2 e - t / 2 ∫ 0 t f τ e τ / 2 d τ + e - t / 2

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