Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

Questão 2: Faça o que se pede em cada item:

  1. Utilizando a transformada de Laplace, resolva o PVI dado por y = y ' t .

y ' ' + 4 y = 0 ,                             t < 1   t - 1 2 ,           1 ≤ t

E condições iniciais y 0 = 0 e y ' 0 = 1 .

Passo 1

a )

Antes aplicar Laplace na EDO, vamos fazer uma coisinha que vai nos ajudar muito: veja que estamos trabalhando com uma EDO com duas definições diferentes:

y ' ' + 4 y = 0 ,                             t < 1   t - 1 2 ,           1 ≤ t

Vamos chamar de f t , essa função que tem duas definições:

f t = 0 ,                             t < 1   t - 1 2 ,           1 ≤ t

Isso facilita a vida, pois agora temos que resolver uma EDO apenas:

y ' ' + 4 y = f t

Na verdade ainda continua sendo duas EDO’s, mas mascarada de forma mais fácil, entende? Mas chega de Blá Blá Blá e bora aplicar Laplace?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

POXA! Para você que não se recorda, venho falando “Aplicar Laplace” em uma EDO e isso é literalmente aplicar a transformada dos dois lados da igualdade:

L y ' ' + 4 y s = L f t s

A transformada da soma é a soma das transformadas...

L y ' ' s + 4 L y s = L f t s

A transformada de Laplace da função genérica f t é F s (a gente sempre representa por letra maiúscula):

L y ' ' s + 4 Y s = F s

Assim:

L y ' ' s + 4 Y s = F s               →

s 2 Y s - s ⋅ y 0 - y ' 0 + 4 Y s = F s

Como y 0 = 0 e y ' 0 = 1 ...

s 2 Y s - 1 + 4 Y s = F s

Isolando Y s que a nossa função resposta em Laplace:

s 2 + 4 Y s = F s + 1       →

Y s = F s + 1 s 2 + 4

O que basicamente devemos fazer agora é desenvolver o inverso, ou seja, aplicar Laplace inverso:

L - 1 Y s t = L - 1 F s + 1 s 2 + 4 t           →

y t = L - 1 F s + 1 s 2 + 4 t

Agora sim, vamos precisar conhecer F s , para calcular o Laplace inverso desse cara e matar o problema. Vamos nessa?

Passo 3

Nos chamamos de f t a função definida por partes:

f t = 0 ,                             t < 1   t - 1 2 ,           1 ≤ t

Então podemos dizer que:

f t = u 1 ( t ) t - 1 2

Pela transformada da função degrau:

L u 1 ( t ) t - 1 2 s = e - s L t 2

L u 1 ( t ) t - 1 2 s = e - s 2 s 3 = 2 e - s s 3

Prontinho! Agora voltemos para onde paramos no passo anterior!

Passo 4

y t = L - 1 F s + s s 2 + 4 t

y t = L - 1 2 e - s s 3 + 1 s 2 + 4 t         →

y t = L - 1 2 e - s s 3 s 2 + 4 t + L - 1 1 s 2 + 4 t       →

Pela tabela:

L - 1 1 s 2 + 4 t = sin ⁡ 2 t 2

Passo 5

Vai ficar então:

y t = L - 1 2 e - s s 3 s 2 + 4 t + sin ⁡ 2 t 2       →

Podemos decompor essa fração em frações parciais:

2 s 3 s 2 + 4 = A s + B s 2 + C s 3 + D s + E s 2 + 4

Olhando só o lado direito (colocando no mesmo denominador comum as fações):

A s + B s 2 + C s 3 + D s + E s 2 + 1 = A s 2 s 2 + 4 + B s s 2 + 4 + C s 2 + 4 + D s + E s 3 s 3 s 2 + 4 =

A s 4 + 4 A s 2 + B s 3 + 4 B s + C s 2 + 4 C + D s 4 + E s 3 s 3 s 2 + 4 =

D + A s 4 + E + B s 3 + C + 4 A s 2 + 4 B s + 4 C s 3 s 2 + 4

Comparando agora esse resultado aí com a nossa fração original:

2 s 3 s 2 + 1 = D + A s 4 + E + B s 3 + C + 4 A s 2 + 4 B s + 4 C s 3 s 2 + 4

Onde a gente tira que

C = 1 2

B = 0

C + 4 A = 0           →             A = - 1 8

E + B = 0         →           E = 0

D + A = 0           →               D = 1 8

Logo...

2 s 3 s 2 + 4 = - 1 8 1 s + 1 2 1 s 3 + 9 8 s s 2 + 4

2 e - s s 3 s 2 + 4 = e - s - 1 8 1 s + 1 2 1 s 3 + 1 8 s s 2 + 4

L - 1 2 e - s s 3 s 2 + 4 t = L - 1 e - s - 1 8 1 s + 1 2 1 s 3 + 1 8 s s 2 + 4 t

Passo 6

Lembrando da transformada da função degrau:

L u c t f ( t - c ) = e - c s L f ( t )

Então:

L - 1 2 e - s s 3 s 2 + 4 t = L - 1 - 1 8 e - s s + L - 1 1 2 e - s s 3 + L - 1 1 8 e - s s s 2 + 4

e - c s = e - s

C = 1

Temos c = 1 . Então:

L - 1 - 1 8 e - s s = - 1 8 L - 1 e - s s = - u 1 t 8

L - 1 1 2 e - s s 3 = L - 1 1 4 2 e - s s 3 = 1 4 u 1 t t - 1 2

L - 1 1 8 e - s s s 2 + 4 = 1 8 L - 1 e - s s s 2 + 4 = 1 8 u 1 t cos ⁡ 2 ( t - 1 )

Então:

L - 1 2 e - s s 3 s 2 + 4 t = - u 1 t 8 + 1 4 u 1 t t - 1 2 + 1 8 u 1 t cos ⁡ 2 ( t - 1 )

L - 1 2 e - s s 3 s 2 + 4 t = 1 8 u 1 t - 1 + 2 t - 1 2 + cos ⁡ 2 ( t - 1 )

Passo 7

Então a gente pode falar que...

y t = L - 1 2 e - s s 3 s 2 + 4 t + sin ⁡ 2 t 2       →

y t = 1 8 u 1 t cos ⁡ 2 ( t - 1 ) + 2 t - 1 2 - 1 + sin ⁡ 2 t + 2 2

Resposta

y t = 1 8 u 1 t cos ⁡ 2 ( t - 1 ) + 2 t - 1 2 - 1 + sin ⁡ 2 t + 2 2

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