Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

Determine a solução do problema de valor inicial:

y ' + 3 y = 2 ,     0 < t < 1 1 ,     t > 1 , y 0 = 3

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos ter que usar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:

L y ' s = s L y - y 0 = s L y - 3

Chamarei L [ y ] ( s ) de Y ( s ) , ok?! Agora vamos calcular:

∫ 0 1 2 e - s t d t + ∫ 1 ∞ e - s t d t = - 2 e - s t s 0 1 + lim b → ∞ ⁡ - e - s t s 1 ∞

= 2 s - e - s s

Substituindo tudo da EDO:

s Y s - 3 + 3 Y s = 2 s - e - s s

Isolando Y ( s ) :

Y s = 2 s ( s + 3 ) - e - s s s + 3 + 3 s + 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora tomaremos a transformada inversa de Laplace em cada termo acima:

L - 1 2 s s + 3 s = ?

Aqui a gente vai usar frações parciais, desse jeito:

2 s s + 3 = A s + B s + 3

s + 3 A + B s s s + 3 = s A + B + 3 A s s + 3

Daqui tiramos:

A + B = 0 → A = - B

3 A = 2 → A = 2 3     B = - 2 3

2 s s + 3 = 2 3 1 s - 2 3 1 s + 3

Então:

L - 1 2 s s + 3 s = L - 1 2 3 1 s - 2 3 1 s + 3 s = 2 3 L - 1 1 s s - 2 3 L - 1 1 s + 3 s

= 2 3 - 2 3 e - 3 t

Passo 3

Vamos para outro caso agora:

L - 1 3 s + 3 s = 3 L - 1 1 s + 3 s = 3 e - 3 t

Passo 4

O último caso:

L - 1 e - s s s + 3 s = L - 1 e - s 1 3 3 s s + 3 s = 1 3 1 - e - 3 t - 1 u t - 1

Passo 5

Então nossa expressão ficou:

Y s = 2 s s + 3 - e - s s s + 3 + 3 s + 3

y t = 2 3 1 - e - 3 t + 3 e - 3 t - 1 3 1 - e - 3 t - 1 u t - 1

E a solução é:

y t = 2 3 1 - e - 3 t + 3 e - 3 t ,     0 < t < 1 2 3 1 - e - 3 t + 3 e - 3 t - 1 3 1 - e - 3 t - 1 ,     t > 1

Resposta

y t = 2 3 1 - e - 3 t + 3 e - 3 t ,     0 < t < 1 2 3 1 - e - 3 t + 3 e - 3 t - 1 3 1 - e - 3 t - 1 ,     t > 1

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