Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

Use transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:

y ' ' + 9 y = cos ⁡ 3 t , y 0 = 2 ,       y ' 0 = 5

Passo 1

Vamos aplicar transformada de Laplace na equação:

L y ' ' + 9 y = L cos ⁡ 3 t

L y ' ' + 9 L y = L cos ⁡ 3 t

Vamos chamar:

L y = Y s

E, como:

L y ' ' = s 2 L y - s y 0 - y ' 0

Temos: L y ' ' = s 2 Y s - 2 s - 5

E também, como:

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Temos: L cos ⁡ 3 t = s s 2 + 9

Então nossa equação vai ficar: L y ' ' + 9 L y = L cos ⁡ 3 t

  s 2 Y s - 2 s - 5 + 9 Y s = s s 2 + 9

Vamos organizar isso agora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Deixando o Y s isolado de um lado, temos: Y s s 2 + 9 = s s 2 + 9 + 2 s + 5

Y s = s s 2 + 9 2 + 2 s s 2 + 9 + 5 s 2 + 9

Agora vamos encontrar a solução a partir da inversa.

Passo 3

Assim, a solução será:

y t = L - 1 Y s = L - 1 s s 2 + 9 2 + 2 s s 2 + 9 + 5 s 2 + 9

= L - 1 s s 2 + 9 2 + 2 L - 1 s s 2 + 9 + 5 L - 1 1 s 2 + 9

Vamos resolver as duas últimas inversas e depois olhar para primeira. Temos que:

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Logo:

L - 1 s s 2 + 9 = cos ⁡ 3 t

Também conhecemos a outra, como: L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Temos que: L - 1 1 3 3 s 2 + 9 = sen ⁡ 3 t 3

Mas e essa transformada aqui: L - 1 s s 2 + 9 2

Como calcular??

Bem, repare que: s s 2 + 9 2 = s s 2 + 9 ⋅ 1 3 3 s 2 + 9

Pelo produto convolução, temos:

∫ 0 t f t - τ g τ d τ = f t * g t

Com:

L f t * g t = L f t ⋅ L g t

Então, para f t = cos ⁡ 3 t e g t = sen ⁡ 3 t 3 , temos: s s 2 + 9 2 = s s 2 + 9 ⋅ 1 3 3 s 2 + 9 = L cos ⁡ 3 t * sen ⁡ 3 t 3

Assim:

L - 1 s s 2 + 9 2 = cos ⁡ 3 t * sen ⁡ 3 t 3 = ∫ 0 t cos ⁡ 3 t - τ sen ⁡ 3 τ 3 d τ

= 1 3 ∫ 0 t cos ⁡ 3 t - 3 τ sen ⁡ 3 τ d τ

Vamos calcular essa integral então. Temos que: cos ⁡ 3 t - 3 τ = cos ⁡ 3 t cos ⁡ 3 τ + sen ⁡ 3 t sen ⁡ 3 τ Logo:

∫ 0 t cos ⁡ 3 t - 3 τ sen ⁡ 3 τ d τ

= ∫ 0 t cos ⁡ 3 t cos ⁡ 3 τ + sen ⁡ 3 t sen ⁡ 3 τ sen ⁡ 3 τ d τ

= ∫ 0 t cos ⁡ 3 t cos ⁡ 3 τ sen ⁡ 3 τ d τ + ∫ 0 t sen 2 ⁡ 3 τ d τ

A parte com t , pode ser retirada da integral, pois fica como se fosse uma constante:

= cos ⁡ 3 t ∫ 0 t cos ⁡ 3 τ sen ⁡ 3 τ d τ + sen ⁡ 3 t ∫ 0 t sen 2 ⁡ 3 τ d τ

OK, agora as coisas melhorar para gente (não muito hahaha). Vamos usar duas propriedades do seno e cosseno aqui:

sen ⁡ a cos ⁡ a = 1 2 sen ⁡ 2 a

sen 2 ⁡ a = 1 - cos ⁡ 2 a 2

Assim: ∫ 0 t cos ⁡ 3 τ sen ⁡ 3 τ d τ = 1 2 ∫ 0 t sen ⁡ 6 τ ⁡ d τ = - 1 2 ⋅ cos ⁡ 6 τ 6 = - 1 12 cos ⁡ 6 τ 0 t

= - 1 12 cos ⁡ 6 t + 1 12

Além disso:

∫ 0 t sen 2 ⁡ 3 τ d τ = ∫ 0 t 1 - cos ⁡ 6 τ 2 ⁡ d τ = 1 2 ∫ 0 t d τ - 1 2 ∫ 0 t cos ⁡ 6 τ d τ

= 1 2 t - 1 2 sen ⁡ 6 τ 6 0 t = 1 2 t - 1 12 sen ⁡ 6 t

Ufa! Agora é só substituir:

∫ 0 t cos ⁡ 3 t - τ sen ⁡ 3 τ d τ = cos ⁡ 3 t ∫ 0 t cos ⁡ 3 τ sen ⁡ 3 τ d τ + sen ⁡ 3 t ∫ 0 t sen 2 ⁡ 3 τ d τ

= cos ⁡ 3 t 1 12 cos ⁡ 6 t - 1 12 + sen ⁡ 3 t 1 2 t - 1 12 sen ⁡ 6 t

= 1 12 cos ⁡ 6 t cos ⁡ 3 t - 1 12 cos ⁡ 3 t + 1 2 t sen ⁡ 3 t - 1 12 sen ⁡ 3 t sen ⁡ 6 t

Para simplificar mais, como: cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

Temos: ∫ 0 t cos ⁡ 3 t - τ sen ⁡ 3 τ d τ = 1 12 cos ⁡ 9 t - 1 12 cos ⁡ 3 t + 1 2 t sen ⁡ 3 t

Não podemos esquecer daquele 1/3 que tava multiplicando! Então:

1 3 ∫ 0 t cos ⁡ 3 t - τ sen ⁡ 3 τ d τ = 1 36 cos ⁡ 9 t - 1 36 cos ⁡ 3 t + 1 6 t sen ⁡ 3 t

Agora vamos escrever a solução.

Passo 4

Já dava até para ter esquecido o que a gente fez na EDO, mas aqui a gente te lembra, tínhamos:

y t = L - 1 s s 2 + 9 2 + 2 L - 1 s s 2 + 9 + 5 L - 1 1 s 2 + 9

Com:

L - 1 s s 2 + 9 2 = ∫ 0 t cos ⁡ 3 t - τ sen ⁡ 3 τ d τ

Assim, substituindo:

y t = 1 12 cos ⁡ 9 t - 1 12 cos ⁡ 3 t + 1 2 t sen ⁡ 3 t + 2 cos ⁡ 3 t + 5 sen ⁡ 3 t 3

y t = 1 12 cos ⁡ 9 t + 23 12 cos ⁡ 3 t + 1 2 t sen ⁡ 3 t + 5 sen ⁡ 3 t 3

Ufa!

Resposta

y t = 1 12 cos ⁡ 9 t + 23 12 cos ⁡ 3 t + 1 2 t sen ⁡ 3 t + 5 sen ⁡ 3 t 3

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