Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

Solução de PVI para EDO e Sistema de EDO por Laplace

Use transformadas de Laplace para resolver o seguinte problema do valor inicial

y ' + y = - t sen ⁡ t

Com y 0 = 0

Passo 1

Vamos aplicar transformada de Laplace na equação

L y ' + y = L - t sen ⁡ t

L y ' + L y = L - t sen ⁡ t

Lembrando que

L y ' = s L y - y 0 = s L y

Vamos fazer

L y = Y s

Para facilitar nossa vida, a EDO fica

s Y s + Y s = - L t sen ⁡ t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer agora

L t sen ⁡ t

Lembrando que

L t n f t = - 1 n d n d s n L f t

E

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Vamos ter

L t sen ⁡ t = - 1 1 d d s L sen ⁡ t = 2 s ( s 2 + 1 ) 2

Passo 3

A EDO ficou

s Y s + Y s = - 2 s ( 1 + s 2 ) 2

Isolando Y s vamos ter

Y s = - 2 s s 2 + 1 2 . 1 s + 1 = - 2 s s + 1 ( s 2 + 1 ) 2

Agora a gente vai ter um trabalhinho porque vamos precisar separar isso em frações parciais:

Y s = - 2 s s + 1 ( s 2 + 1 ) 2 = A s + 1   + B s + C s 2 + 1 + D s + E s 2 + 1 2

Essa forma de separar as frações parciais é ótima porque temos 5 variáveis ( A até E ) e vamos montar um sistema com 5 equações (de s 4 até s 0 ). E lembre-se, o numerador em frações parciais sempre tem que ser pelo menos um grau a menos que o denominador. Então colocando tudo no mesmo denominador temos:

- 2 s s + 1 ( s 2 + 1 ) 2 = A s 2 + 1 2 s + 1   + B s + C s + 1 s 2 + 1 s 2 + 1 + D s + E s + 1 s 2 + 1 2

- 2 s = A s 4 + 2 s 2 + 1 + B s + C s 3 + s 2 + s + 1 + D s 2 + E s + D s + E

- 2 s = A s 4 + 2 A s 2 + A + B s 4 + B s 3 + B s 2 + B s + C s 3 + C s 2 + C s + C + D s 2 + E s + D s + E

0 s 4 + 0 s 3 + 0 s 2 + - 2 s + 0 = A + B s 4 + B + C s 3 + 2 A + B + C + D s 2 + B + C + E + D s + A + C + E

Igualando os índices montamos o seguinte sistema:

A + B = 0 B + C = 0 2 A + B + C + D = 0 B + C + E + D = - 2 A + C + E = 0

Da linha 2 , conseguimos simplificar a linha 3 e 4 :

A + B = 0 B + C = 0 2 A + D = 0 E + D = - 2 A + C + E = 0

Fazendo linha 1 menos linha 2 achamos A = C . Substituindo todos os C por A temos:

A + B = 0 B + A = 0 2 A + D = 0 E + D = - 2 A + A + E = 0

A + B = 0 2 A + D = 0 E + D = - 2 2 A + E = 0

Reduzimos em uma equação porque a primeira e segunda linha eram iguais. Do sistema acima, podemos fazer linha 2 menos linha 4 pra obter D = E e trocando D por E na terceira linha, ficamos com:

E + E = - 2

2 E = - 2

E = - 1 = D

E daí conseguimos pegar os valores das constantes que faltavam. Por exemplo, do ultimo sistema, linha 4 , conseguimos obter:

2 A + E = 0

2 A - 1 = 0

A = 1 2 = C

E por fim da linha 1 do último sistema:

A + B = 0

1 2 + B = 0

B = - 1 2

Passo 4

Do resultado do passo anterior, já que:

Y s = A s + 1   + D s + E s 2 + 1 2 + B s + C s 2 + 1

A = 1 2 B = - 1 2 C = 1 2 D = - 1 E = - 1

Vamos ter:

Y s = 1 2 1 s + 1 - s + 1 s 2 + 1 2 - 1 2 ⋅ s - 1 s 2 + 1

Assim

y t = L - 1 Y ( s ) = 1 2 L - 1 1 s + 1 - L - 1 s + 1 s 2 + 1 2 - 1 2 L - 1 s - 1 s 2 + 1

A primeira é a transformada de 1 deslocada em 1 unidade.

L - 1 1 s + 1 = e - t

A segunda é dada por

L - 1 s + 1 s 2 + 1 2 = L - 1 s s 2 + 1 2 + L - 1 1 s 2 + 1 2

L - 1 s + 1 s 2 + 1 2 = 1 2 t s e n t + 1 2 s e n t - t c o s t

A terceira, a gente separa em duas:

L - 1 1 - s s 2 + 1 = L - 1 1 s 2 + 1 - L - 1 s s 2 + 1

L - 1 1 - s s 2 + 1 = s e n t - cos ⁡ t

Que são as transformadas do cosseno e seno respectivamente. Assim juntando tudo isso:

y t = L - 1 Y ( s ) = 1 2 e - t - 1 2 t s e n t + 1 2 s e n t - t c o s t - 1 2 s e n t - cos ⁡ t    

Resposta

y t = 1 2 [ e - t ( 1 - 2 t ) + sen ⁡ t - cos ⁡ t ]

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