Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

CEFET - EDO - P3 Hélder 2014.2 – 4

Considere o seguinte PVI:

x ' ' + 6 x ' + 18 x = 25 e t ,   x 0 = 1 ,   x ' 0 = 4

Resolva usando transformada de Laplace.

Passo 1

Vamos lembrar as transformadas das derivadas:

L x ' s = s L x s - x 0 = s L x s - 1

L x ' ' s = s 2 L x s - s x 0 - x ´ 0 = s 2 L x s - s - 4

Em breve usaremos isso!

Vamos aplicar a transformada em ambos os lados da EDO:

L x ' ' + 6 x ' + 18 x = 25 e t L x ' ' + 6 L x ' + 18 L x = L [ 25 e t ]

E a transformada de uma exponencial:

L 25 e t = 25 s - 1

Substituindo as transformadas:

s 2 L x - s - 4 + 6 s L x - 6 + 18 L x = 25 s - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agrupando tudo que tem L [ x ] e colocando o resto para outro lado da equação:

s 2 + 6 s + 18 L x = 25 s - 1 + s + 10 = 25 + s 2 + 10 s - s - 10 s - 1 = s 2 + 9 s + 15 s - 1

Assim:

L x = s 2 + 9 s + 15 s - 1 s 2 + 6 s + 18

Passo 3

Vamos achar as raízes de s 2 - 6 s + 18 :

∆ = 36 - 4.18 = - 36 < 0

Eita, não deu galera! As raízes vão dar números complexos! Então vamos só completar quadrado perfeito:

s 2 + 6 s + 18 = s 2 + 6 s + 9 + 9 = s + 3 2 + 9

Substituindo isso na EDO:

L x = s 2 + 9 s + 15 s - 1 s + 3 2 + 9

Passo 4

Vamos aplicar frações parciais :

s 2 + 9 s + 15 s - 1 s + 3 2 + 9 = A s - 1 + B s + C s 2 + 6 s + 18

Galera, eu voltei a s 2 + 6 s + 18 ao invés de s + 3 2 + 9 para fazer o mmc!

A s - 1 + B s + C s 2 + 6 s + 18 = A s 2 + 6 A s + 18 A + B s 2 - B s + C s - C s - 1 s + 3 2 + 9

Assim:

s 2 + 9 s + 15 s - 1 s + 3 2 + 9 = A + B s 2 + 6 A - B + C s + 18 A - C s - 1 s + 3 2 + 9

Igualando os coeficientes:

A + B = 1 → B = 1 - A 6 A - B + C = 9 → 6 A - 1 + A + C = 9 → 7 A + C = 10 18 A - C = 15

Analisando a segunda e a terceira equação:

7 A + C = 10

18 A - C = 15

Somando esses 2 termos:

25 A = 25

A = 1

Assim:

C = 10 - 7 = 3

E

B = 1 - 1 = 0

Logo ficou:

s 2 + 9 s + 15 s - 1 s + 3 2 + 9 = 1 s - 1 + 3 s + 3 2 + 9

Então finalmente:

x = L - 1 s 2 + 9 s + 15 s - 1 s + 3 2 + 9 = L - 1 1 s - 1 + 3 s + 3 2 + 9 = L - 1 1 s - 1 + L - 1 3 s + 3 2 + 9

Passo 5

Então vamos resolver cada um:

L - 1 1 s - 1 = e t

L - 1 3 s + 3 2 + 9 = ? ?

Esse s + 3 representa que a função s está deslocada em - 3 , o macete é esquecer ela por um momentinho e ficar só com: L - 1 3 s 2 + 9 = sen ⁡ ( 3 t )

Beleza, agora lembre que era está deslocada, isso representa uma exponencial, em que a constante do expoente é o deslocamento da função s , tá lá na nossa teoria ;), então fica assim:

L - 1 3 s + 3 2 + 9 = e - 3 t sen ⁡ ( 3 t )

E finalmente a solução:

x = L - 1 1 s - 1 + L - 1 3 s + 3 2 + 9 = e t + e - 3 t sen ⁡ ( 3 t )

Resposta

x = e t + e - 3 t sen ⁡ ( 3 t )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas