Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

4) Encontre, via Transformada de Laplace, uma função y = y x tal que

y ' + 4 y + 5 ∫ 0 t y τ d τ = e - t ,           y 0 = 0 .

Passo 1

Bem, para a resolução por Laplace, a primeira coisa é literalmente aplicar Laplace dos dois Lados da nossa equação, neh?

L y ' + 4 y + 5 ∫ 0 t y τ d τ = L e - t   →

L y ' + 4 L y + 5 L ∫ 0 t y τ d τ = L e - t   →

Relembrando da tabelinha de propriedades de Laplace:

Então...

s Y s - y 0 + 4 Y s + 5 1 s Y s = 1 s + 1   →

OBS: Repare que o resultado do lado esquerdo é a combinação da última propriedade na tabelinha com o Laplace de 1 :

L e - 1 ⋅ t ⋅ 1 = 1 s + 1  

Continuando, já podemos eliminar y 0 = 0 e colocar Y s em evidência:

Y s s + 4 + 5 s = 1 s + 1   →

Y s s 2 + 4 s + 5 s = 1 s + 1   →

Isolando...

Y s = s s + 1 s 2 + 4 s + 5  

Então a solução é aplicar a Laplace inversa dos dois lados:

L - 1 Y s = L - 1 s s + 1 s 2 + 4 s + 5   →

y t = L - 1 s s + 1 s 2 + 4 s + 5  

Bora encontrar quem é o Laplace inverso desse outro lado então?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, temos em baixo um produto, então que tal fazermos por separação em frações parciais?

L - 1 s s + 1 s 2 + 4 s + 5 =

L - 1 A s + 1 + B s + C s 2 + 4 s + 5

Tirando uma espécie de MMC nesse denominador apenas multiplicando-os para colocar tudo em uma única fração... (não se esqueça de dividir pelo de baixo e multiplicar pelo de cima, heim ):

L - 1 A s 2 + 4 s + 5 + B s + C s + 1 s + 1 s 2 + 4 s + 5 =

Tirando os parênteses...

L - 1 A s 2 + 4 A s + 5 A + B s 2 + B s + C s + C s + 1 s 2 + 4 s + 5 =

L - 1 A s 2 + 4 A s + 5 A + B s 2 + B s + C s + C s + 1 s 2 + 4 s + 5 =

E agora colocando os s em evidências...

L - 1 s 2 A + B + s 4 A + B + C + 5 A + C s + 1 s 2 + 4 s + 5

Pela igualdade no inicio desse passo:

L - 1 s s + 1 s 2 + 4 s + 5 = L - 1 A s + 1 + B s + C s 2 + 4 s + 5     →

L - 1 1 ⋅ s s + 1 s 2 + 4 s + 5 = L - 1 s 2 A + B + s 4 A + B + C + 5 A + C s + 1 s 2 + 4 s + 5

Então, como os nominadores tem que se igualar, o único termo entre colchetes que sobra é o de s , sendo igual a 1 . Todos os outros são 0 :

A + B = 0 4 A + B + C = 1 5 A + C = 0

Passo 3

Resolvendo o sisteminha acima:

Da primeira:

A = - B

Da terceira:

C = - 5 A = 5 B

Na segunda:

4 A + B + C = 1   →        

4 - B + B + 5 B = 1

Logo:

2 B = 1     →       B = 1 2

Então:

A = - 1 2

C = 5 2

E, portanto, de acordo com frações parciais:

L - 1 s s + 1 s 2 + 4 s + 5 = L - 1 - 1 2 s + 1 + 1 2 ⋅ s + 5 2 s 2 + 4 s + 5 =

- 1 2 L - 1 1 s + 1 + 1 2 L - 1 s + 5 s 2 + 4 s + 5

Da tabelinha de Laplaces, conseguimos já tirar que:

L - 1 1 s + 1 = e - t

Para resolver essa segunda Laplace inversa, bora para outro passo separado!

Passo 4

L - 1 s + 5 s 2 + 4 s + 5

Bem, podemos aplicar aqui os conceitos de Laplace inversa completando quadrados, onde vamos procurar encontrar a e b tais que:

L - 1 s + 5 s 2 + 4 s + 5 = L - 1 s + 5 s - b 2 + a 2

Igualando os denominadores...

s 2 + 4 s + 5 = s - b 2 + a 2     →

s 2 + 4 s + 5 = s 2 - 2 s b + b 2 + a 2  

Então, novamente, vamos ganhar um sisteminha...

- 2 b = 4 b 2 + a 2 = 5

Onde resolvendo...

b = - 2

a 2 = 5 - 4 = 1   →     a = 1

Logo:

L - 1 s + 5 s 2 + 4 s + 5 = L - 1 s + 5 s + 2 2 + 1 2

Bem, para poder usar a tabelinha de Laplaces, precisamos separar o 5 em 2 mais 3. Então...

L - 1 s + 2 + 3 s + 2 2 + 1 2 = L - 1 s + 2 s + 2 2 + 1 2 + 3 s + 2 2 + 1 2     →

L - 1 s + 5 s + 2 2 + 1 2 = L - 1 s + 2 s + 2 2 + 1 2 + L - 1 3 s + 2 2 + 1 2     →

L - 1 s + 5 s + 2 2 + 1 2 = L - 1 s + 2 s + 2 2 + 1 2 + 3 L - 1 1 s + 2 2 + 1 2

Usando a tabelinha agora...

L - 1 s + 5 s + 2 2 + 1 2 = e - 2 t cos ⁡ t + 3 e - 2 t sin ⁡ t

Passo 5

Voltando então para o passo 3 onde queremos encontra de fato quem é o y t ...

y t = L - 1 s s + 1 s 2 + 4 s + 5     →

y t = - 1 2 L - 1 1 s + 1 + 1 2 L - 1 s + 5 s 2 + 4 s + 5     →

Logo...

y t = - 1 2 e - t + 1 2 e - 2 t cos ⁡ t + 3 e - 2 t sin ⁡ t   →

y t = 1 2 e - 2 t cos ⁡ t + 3 2 e - 2 t sin ⁡ t - 1 2 e - t

Resposta

y t = 1 2 e - 2 t cos ⁡ t + 3 2 e - 2 t sin ⁡ t - 1 2 e - t

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