Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

Resolva o problema de valor inicial

y "   +   2 y '   +   2 y   = δ ( t - π ) , y 0 =   y ' 0 = 1

Passo 1

Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da EDO:

Lembrando que:

L   ( y " )   =   s 2 F ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

L y ' = s F s - y ( 0 )

Nossa EDO vai ficar então com essa cara:

- y ' 0 - s y 0 + s 2   F s + 2 s   F s - 2 y 0 + 2 F s = - 1 - s + s 2   F s + 2 s   F s - 2 + 2 F s = e - π s  

Arrumando melhor   ...

F s =   e - π s + s + 3 s 2   + 2 s + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos determinar a transformada de Laplace inversa de:

F s =   e - π s + s + 3 s 2   + 2 s + 2

Antes saca isso aqui: s 2   + 2 s + 2 = s + 1 2 + 1 .

Arrumando melhor as expressões para ficarem similares às transformadas de funções conhecidas....

  s + 1 s + 1 2 + 1

2 s + 1 2 + 1

e - π s s + 1 2 + 1

Passo 3

Estamos prontos para encontrar as transformadas inversas!

Usando: L - 1   e - a s f s =   u a t f ( t - a ) , : L - 1   L f s - a = e a t f L s e n   a t     =   a s 2 +   a 2 .

L - 1 e - π s s + 1 2 + 1 = u π e - t - π s e n t - π

Agora, lembre que L - 1   L f s - a = e a t f e L c o s ⁡ ( a t ) = s s 2 +   a 2 e vamos aplicar nesta belezinha.

L - 1 s + 1 s + 1 2 + 1 = e - t c o s t

Como L s e n   a t     =   a s 2 +   a 2

L - 1 2 s + 1 2 + 1 = 2 e - t s e n t

Juntando todos esses resultados

y t = L F s = 2 e - t s e n t + e - t c o s t + u π ( t ) e - t - π s e n t - π  

Resposta

y t = 2 e - t s e n t + e - t c o s t + u π ( t ) e - t - π s e n t - π

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