Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

Resolva o PVI usando a transformada de Laplace

y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0 ,   y ' 0 = 6 ,   y 0 = 0

Dica:

L - 1 1 s + a 2 t = t e - a t

Passo 1

Questão bem diretona! Vamos começar aplicando a transformada dos dois lados

y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0

Para y

L y s = L { y } ( s )

Para y '

L y ' s = s L y s - y 0

= s L y s - 0

= s L { y } ( s )

Para y ' '

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ' 0

= s 2 L y s - 0 - 6

= s 2 L y s - 6

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo esses valores na nossa EDO

y ' ' = - 6 y ' + 9 y = 0

= s 2 L y s - 6 - 6 s L y s +   9 L y s = 0

L y s s 2 - 6 s + 9 = 6

L y s = 6 s 2 - 6 s + 9

Como 3 é a única raíz desse polinômio do segundo grau, podemos rescrever como

L y s = 6 s - 3 2

Passo 3

Vamos então aplicar a dica que o enunciado nos deu.

Dica:

L - 1 1 s + a 2 t = t e - a t

Se a = - 3

Dica:

L - 1 1 s - 3 2 t = t e 3 t

Observa que o que temos é

L y s = 6 s - 3 2

Bem parecido, né? Só o que precisamos lembrar agora é de usar a linearidade da transformada para por o 6 pra fora da transformada. Então a solução fica

y t = 6 t e 3 t

Resposta

y t = 6 t e 3 t

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