Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

Solução de PVI para EDO e Sistema de EDO por Laplace

( b ) Resolva o PVI

y ' ' + y ' - 2 y = 1 y 0 = y ' 0 = 0

via transformada de Laplace.

Passo 1

Para resolver esse PVI, devemos aplicar a transformada de Laplace em ambos os membros da equação:

L { y ' ' + y ' - 2 y } = L { 1 }

Por linearidade:

L { y ' ' } + L { y ' } - 2 L { y } = L { 1 }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos encontrar as transformadas de Laplace de cada termo:

L y ' ' = s 2 Y s - s y 0 - y ' ( 0 )

L y ' = s Y s - y ( 0 )

L y = Y ( s )

L 1 = 1 s

E aplicamos as condições iniciais y 0 = y ' 0 = 0 para encontrar

L y ' ' = s 2 Y s

L y ' = s Y s

Passo 3

Agora é hora de substituir na equação e resolver para Y ( s ) ...

L { y ' ' } + L { y ' } - 2 L { y } = L { 1 }

s 2 Y ( s ) + s Y ( s ) - 2 Y ( s ) = 1 s

Y s s 2 + s - 2 = 1 s

Y s = 1 s ( s 2 + s - 2 )

Passo 4

Hora de fatorar o denominador. Dá pra ver que s 2 + s - 2 = s - 1 ( s + 2 ) ? Show!

Y s = 1 s ( s - 1 ) ( s + 2 )

Então vamos abrir Y ( s ) em frações parciais:

Y s = A s + B s - 1 + C s + 2

E, para achar os coeficientes, temos:

A s + B s - 1 + C s + 2 = 1 s ( s - 1 ) ( s + 2 )

A s - 1 s + 2 + B s s + 2 + C s ( s - 1 ) s ( s - 1 ) ( s + 2 ) = 1 s ( s - 1 ) ( s + 2 )

Comparando os numeradores:

A s - 1 s + 2 + B s s + 2 + C s s - 1 = 1

A s 2 + s - 2 + B s 2 + 2 s + C s 2 - s = 1

A + B + C s 2 + A + 2 B - C s + - 2 A = 0 s 2 + 0 s + 1

Comparando termo a termos:

A + B + C = 0     ( I ) A + 2 B - C = 0     ( I I ) - 2 A = 1     ( I I I )

De ( I I I ) , A = - 1 / 2 . De I + ( I I ) , 2 A + 3 B = 0 → - 1 + 3 B = 0 → B = 1 / 3 . Finalmente, de ( I ) , - 1 / 2 + 1 / 3 + C = 0 → C = 1 / 6 .

Portanto, Y s = - 1 / 2 s + 1 / 3 s - 1 + 1 / 6 s + 2

Passo 5

Agora só falta tomar a transformada inversa de Laplace:

L - 1 Y s = L - 1 - 1 / 2 s + 1 / 3 s - 1 + 1 / 6 s + 2

Por linearidade:

L - 1 Y s = L - 1 - 1 / 2 s + L - 1 1 / 3 s - 1 + L - 1 1 / 6 s + 2

y t = - 1 2 + 1 3 e t + 1 6 e - 2 t

Resposta

y t = - 1 2 + 1 3 e t + 1 6 e - 2 t

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