Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

UNICAMP, Cálculo 3, Exame - 2013.1 - Vespertino, Questão 2c

( c ) Resolva o problema de valor inicial

y ' ' + 4 y = 2 t ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Passo 1

Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse PVI, beleza? Para isso, aplicamos a transformada de Laplace em todo mundo.

L y ( t ) = Y ( s )

L y ' ' t = s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 L y ' ' t = s 2 Y s - s

Além disso, para o termo do lado direito, sabemos que

L 2 t = 2 s 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo na equação, temos:

y ' ' + 4 y = 2 t

L [ y ' ' ] + L [ 4 y ] = L [ 2 t ]

s 2 Y s - s + 4 Y s = 2 s 2

Reordenando:

Y s s 2 + 4 = s 3 + 2 s 2

Y s = s 3 + 2 s 2 s 2 + 4

Passo 3

Agora, vamos usar frações parciais para achar a inversa de Y ( s ) , isto é, o y ( t ) .

s 3 + 2 s 2 s 2 + 4 = A s + B s 2 + C s + D s 2 + 4

s 3 + 2 s 2 s 2 + 4 = A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 s 2 s 2 + 4

O numerador da direita, então, se torna:

A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 = A s 3 + B s 2 + 4 A s + 4 B + C s 3 + D s 2

A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 = ( A + C ) s 3 + ( B + D ) s 2 + 4 A s + 4 B

E, comparando termo a termo, para que a expressão se iguale a s 3 + 2 :

A + C = 1 B + D = 0 4 A = 0 4 B = 2

Assim, concluímos que A = 0 , B = 1 / 2 , C = 1 e D = - 1 / 2 . Logo:

s 3 + 2 s 2 s 2 + 4 = 1 / 2 s 2 + s - 1 / 2 s 2 + 4

s 3 + 2 s 2 s 2 + 4 = 1 / 2 s 2 + s s 2 + 4 - 1 / 2 s 2 + 4

Passo 4

Por fim, vamos reconhecer as inversas...

Y ( s ) = 1 / 2 s 2 + s s 2 + 4 - 1 / 2 s 2 + 4

Como y t =   L - 1 Y s , vem:

y t = L - 1 1 2 . 1 s 2 + L - 1 s s 2 + 4 - L - 1 1 4 . 2 s 2 + 4

y t = t 2 + cos ( 2 t ) - s e n   ( 2 t ) 4

Resposta

y t = t 2 + cos ( 2 t ) - s e n   ( 2 t ) 4

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