Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

UFPE – Cálculo 4 – 2019.2 – 2° EE – Exercício 2

Resolva o problema de valor inicial usando a transformada de Laplace

y ' ' + 2 t y ' - 4 y = 1 ,               y ' 0 = 0 ,                 y 0 = 0

Dicas: Quanto vale lim s → ∞ ⁡ L f t s ? Para achar L - 1 , lembre o que é L t 2 s , faça com cuidado!

Passo 1

Legal, o problema pede para resolvermos o seguinte problema de valor inicial:

y ' ' + 2 t y ' - 4 y = 1 ,               y ' 0 = 0 ,                 y 0 = 0

Para isso, devemos usar a transformada de Laplace! Para isso, aplicamos a transformada nos dois lados da equação:

L y ' ' + 2 t y ' - 4 y = L 1

Usando a linearidada da transformada, temos que

L y ' ' + 2 L t y ' - 4 L y = L 1

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Passo 2

Bom, agora temos que calcular algumas dessas transformadas. Lembrando da definição:

L f t = ∫ 0 ∞ f t   e - s t   d t

Assim, para f t = 1 :

L 1 = ∫ 0 ∞ e - s t   d t = lim h → ∞ ⁡ ∫ 0 h e - s t d t

Fazendo a integral:

L 1 = lim h → ∞ ⁡ - 1 s e - s h - 1

Quando h → ∞ , e - s h → 0 . Assim,

L 1 = 1 s

Esse é um resultado que você podia já ter decorado, mas quis deduzir ele passo a passo para você lembrar 😊

Passo 3

Um outro resultado que você deve lembrar é a transformada de f t = t   g ( t ) :

L t   g t = - d d s L g t

Assim,

L t y ' = - d d s L y '

Mas você deve saber também que

L f ' t = s   L f t - f 0

Portanto,

L y ' = s   L y - y 0

Como y 0 = 0 pela condição inicial do problema:

L y ' = s   L y

Assim,

L t y ' = - d d s s   L y = - L y - s d d s L y

Passo 4

Por fim, temos que avaliar L y ' ' . Para isso, lembre-se que

L f ' ' t = s 2 L f t - s   f 0 - f ' 0

Assim,

L y ' ' = s 2 L y - s   y 0 - y ' 0

Como y 0 = 0 e y ' 0 = 0 , temos que

L y ' ' = s 2 L y

Passo 5

Nos passos anteriores achamos que:

L 1 = 1 s

L t y ' = - L y - s d d s L y

L y ' ' = s 2 L y

Assim, a EDO fica:

L y ' ' + 2 L t y ' - 4 L y = L 1 ⇒ s 2 L y + 2   - L y - s d d s L y - 4 L y = 1 s

Por uma questão de simplicidade, vamos escrever u s = L y , de modo que a equação fica:

s 2 u - 2 u - 2 s u ' - 4 u = 1 s

Ou ainda,

2 s u ' + 6 - s 2 u = - 1 s

Dividindo a equação por 2 s :

u ' + 3 s - s 2 u = - 1 2 s 2

Passo 6

Essa é uma EDO linear do tipo

u ' s + f s   u s = g s

Para resolver esse tipo de equação, você precisa achar o fator integrante:

I = e ∫ f s   d s

Nesse caso,

f s = 3 s - s 2

Fazendo a integração:

∫ f s   d s = ∫ 3 s - s 2   d s = 3 ln ⁡ s - s 2 4

Portanto,

I = e 3 ln ⁡ s - s 2 4 = e ln ⁡ s 3 ⋅ e - s 2 4 = s 3 e - s 2 4

Nós multiplicamos os dois lados da equação por esse fator:

u ' s   e ∫ f s   d s + f s   u s   e ∫ f s   d s = e ∫ f s   d s   g s

Note que o lado esquerdo pode ser fatorado em

u s   e ∫ f s   d s ' = e ∫ f s   d s   g s

Se você não entender muito bem essa passagem, aconselho a dar uma olhada no resuminho de RespondeAí sobre o assunto!

Fazendo isso nesse problema específico:

u   s 3 e - s 2 4 ' = s 3 e - s 2 4 ⋅ - 1 2 s 2

Assim,

u   s 3 e - s 2 4 ' = - s 2   e - s 2 4

Integrando dos dois lados:

u   s 3 e - s 2 4 = ∫ - s 2 e - s 2 4   d s

Para fazer essa integral, fazemos a substituição p = - s 2 / 4 . Assim,

d p = - s 2   d s

Assim, a integral fica

∫ - s 2 e - s 2 4   d s = ∫ e p   d p = e p + C = e - s 2 4 + C

Portanot,

u   s 3 e - s 2 4 = e - s 2 4 + C

Isolando u :

u s = 1 s 3 + C s 3 e - s 2 4 = 1 s 3 + C s 3 e s 2 4

Passo 7

Cuidado para não se perder no problema! Lembre-se que nosso objetivo é achar y t sendo que u s = L y . Nós achamos que

L y = 1 s 3 + C s 3 e s 2 4

Para achar a constante C , vamos usar a dica do enunciado, que fez a pergunta: Quanto vale lim s → ∞ ⁡ L f t s ? Aqui você deve lembrar que

lim s → ∞ ⁡ L f t s = 0

Note que o termo 1 / s 3 realmente tende a zero quando s → ∞ , mas o segundo termo não! Vamos fazer o limite de e s 2 4 / s 3 quando s → ∞ . Note que se trata de uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Com isso, aplicamos a regra de L’Hospital derivando em cima e em baixo:

lim s → ∞ ⁡ e s 2 4 s 3 = lim s → ∞ ⁡ s 2   e s 2 4 3 s 2 = 1 6 lim s → ∞ ⁡ e s 2 4 s

Seguimos com a indeterminação, então aplicamos a regra novamente:

lim s → ∞ ⁡ e s 2 4 s = lim s → ∞ ⁡ s 2   e s 2 4 1 = 1 2 lim s → ∞ ⁡ s e s 2 4 = + ∞

Portanto, esse termo não pode aparecer na transformada e devemos forçar C = 0 . Desta forma,

L y = 1 s 3

Passo 8

Agora, para achar y , temos que fazer a transformada inversa. Para isso, olhamos para a segunda dica do enunciado: lembre o que é L t 2 s !

Se você lembrar bem,

L t n = n ! s n + 1

Portanto,

L t 2 = 2 ! s 2 + 1 = 2 s 3

Com isso,

t 2 = L - 1 2 s 3 = 2 L - 1 1 s 3

Logo,

y t = L - 1 1 s 3 = t 2 2

Note que

y ' = t               e             y ' ' = 1

Assim,

y ' ' + 2 t y ' - 4 y = 1 + 2 t ⋅ t - 4 t 2 2 = 1 + 2 t 2 - 2 t 2 = 1

Portanto, y = t 2 / 2 satisfaz a EDO e além disso:

y 0 = 0             e             y ' 0 = 0

Vemos então que a solução do problema de valor inicial dado é

y t = t 2 2

Resposta

y t = t 2 2

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