Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

Solução de PVI para EDO e Sistema de EDO por Laplace

Use transformadas de Laplace para resolver o seguinte problema do valor inicial

y ' + y = - t sen t

Com y 0 = 0

Passo 1

Vamos aplicar transformada de Laplace na equação

L y ' + y = L - t sen t

L y ' + L y = L - t sen t

Lembrando que

L y ' = s L y - y 0 = s L y

Vamos fazer

L y = Y s

Para facilitar nossa vida, a EDO fica

s Y s + Y s = - L t sen t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer agora

L t sen t

Lembrando que

L t n f t = - 1 n d n d s n L f t

E

L sen a t = a s 2 + a 2

Vamos ter

L t sen t = - 1 1 d d s L sen t = 2 s ( s 2 + 1 ) 2

Passo 3

A EDO ficou

s Y s + Y s = - 2 s ( 1 + s 2 ) 2

Isolando Y s vamos ter

Y s = - 2 s ( s 2 + 1 ) 2 . 1 s + 1

Passo 4

Separando isso por frações parciais vamos ter:

Y s = 1 2 1 s + 1 - s + 1 s 2 + 1 2 - 1 2 s - 1 s 2 + 1

Assim

y t = L - 1 Y ( s ) = 1 2 L - 1 1 s + 1 - L - 1 s + 1 s 2 + 1 2 - 1 2 L - 1 s - 1 s 2 + 1

A primeira é a transformada de 1 deslocada em 1 unidade.

L - 1 1 s + 1 = e - t

A segunda é dada por

L - 1 s + 1 s 2 + 1 2 = L - 1 s s 2 + 1 2 + L - 1 1 s 2 + 1 2

L - 1 s + 1 s 2 + 1 2 = 1 2 t s e n t + 1 2 s e n t - t c o s t

A terceira, a gente separa em duas:

L - 1 1 - s s 2 + 1 = L - 1 1 s 2 + 1 - L - 1 s s 2 + 1

L - 1 1 - s s 2 + 1 = s e n t - cos t

Que são as transformadas do cosseno e seno respectivamente. Assim juntando tudo isso:

y t = L - 1 Y ( s ) = 1 2 e - t - 1 2 t s e n t + 1 2 s e n t - t c o s t - 1 2 s e n t - cos t    

Resposta

y t = 1 2 [ e - t ( 1 - 2 t ) + sen t - cos t ]

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