Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

Ver Teoria

Enunciado

Considere um projeto de lançamento onde satélites são lançados como projéteis. Seja G a constante gravitacional, e R T e M T , o raio e a massa da Terra, respectivamente.

(a) Ignorando a atmosfera e a rotação terrestre, deduza a velocidade com que um projétil deve ser lançado para atingir uma altitude máxima de h medida a partir da superfície.

(b) Calcule a razão entre a velocidade de escape de um satélite lançado da Terra e a velocidade de escape do satélite lançado de um planeta cujo raio vale R p = 4   R T e cuja massa é M p = 9   M T

Passo 1

a)

A partir da conservação de energia temos que:

- G M m R + 1 2 m v 2 = - G M m R + h

Isolando a velocidade:

1 2 v 2 = G M R - G M R + h

v 2 = 2 G M 1 R - 1 R + h

Fazendo o MMC:

v 2 = 2 G M R + h - R R 2 + R h

v = 2 G M h R 2 + R h

Passo 2

b)

Por conservação de energia:

1 2 m v 2 - G M m R = 0

Podemos deduzir a fórmula da velocidade de escape:

v e = 2 G M R

Na Terra:

v e T = 2 G M T R T

Calculando a velocidade de escape num planeta arbitrário:

v e P = 2 G   .   9 M T 4 R T

v e P = 9 G M T 2 R T

v e P = 3 2 2 G M T R T

Temos então que a razão é:

v e T v e P = 2 3

Resposta

a)

v = 2 G M h R 2 + R h

b)

v e T v e P = 2 3

Exercícios de Livros Relacionados

Marte e a Terra têm um diâmetro médio de 6,9 × 10 3 k m e 1,3 × 10 4 k m , respectivamente. A massa de Marte é 0,11 vez a massa da Terra. (a) Qual é a razão entre a massa específica média de Marte e a
Sabendo que a aceleração da gravidade na Lua é 0 , 166 vezes aquela na Terra, e que o raio da Lua é 0,273R T , determine a rapidez de escape de um projétil lançado na superfície da Lua.
A força exercida pela terra sobre uma particula de massa m a uma distancia r( rR T ) do centro da Terra tem por magnitude m g R T 2 / r 2 , onde g = G M T / R T 2 . (a) Calcule o trabalho que você dev
Um corpo é lançado diretamente para cima da superfície da Terra, com uma rapidez inicial de 4,0k m / s . Qual é a altura máxima que ele alcança?
O escritor de ficção cientifica Robert Heinlein disse uma vez: “Se você pode ser colocado em órbita, então você está a meio caminho de qualquer lugar”. Justifique esta afirmativa comparando a energia