Exercícios Resolvidos de Energia Potencial Gravitacional

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Enunciado

Dois cilindros, de mesma massa M e raio externo r , sendo um oco com paredes finas e o outro sólido, rolam sem deslizar para baixo em uma superfície cilíndrica com formato circular, com raio R muito maior do que r , e que se conecta de forma contínua a um plano horizontal. Ambos partem do repouso, da mesma altura h em relação ao plano horizontal, no mesmo instante. Sobre o estado de movimento dos dois objetos, quando chegam ao plano horizontal, podemos afirmar que:

  1. Ambos têm a mesma energia cinética de translação.
  2. Ambos têm a mesma energia cinética de rotação.
  3. Os dois objetos chegam juntos ao plano horizontal, pois partem do repouso da mesma altura h , com a mesma energia potencial gravitacional.
  4. O cilindro oco chega primeiro ao plano horizontal porque seu momento de inércia é maior que do cilindro sólido.
  5. O cilindro sólido chega primeiro ao plano horizontal porque seu momento de inércia é menor que do cilindro oco.

Passo 1

POW! Em todos os itens, de certa forma tem haver com velocidades (o item a e b envolvem energia, mas energia tem haver com velocidade também).

Uma das formas clássicas de verificar qual é a velocidade dos cilindros e depois analisar os itens baseado nas velocidades encontrada é por conservação da energia!

Bem, sabemos que no início os dois cilindros só tem energia potencial M g h . Ambos têm a mesma altura h e a mesma massa, então eles vão começar com a mesma energia potencial. À medida que eles descem, essa energia potencial se transforma em energia cinética translacional e em energia cinética rotacional para ambos! A diferença é que uma pode ter mais de um tipo de energia que o outro. É o que vamos verifica!

Mas por hora, tenha em mente que para os dois cilindros valem a lei da conservação...

e n e r g i a   p o t e n c i a l = E n e r g i a   c i n é t i c a   r o t a c i o n a l + E n e r g i a   c i n é t i c a   t r a n s l a c i o n a l

Então, para os dois cilindros...

O c o     →           M g h = 1 2 I C M o c o ω o c o 2 + 1 2 M v o c o 2

s ó l i d o     →           M g h = 1 2 I C M s o l i d o ω s o l i d o 2 + 1 2 M v s o l i d o 2

Onde ω é a velocidade angular e v é a velocidade tangencial. Mas lembre-se de que uma se relaciona com a outra em um movimento circular...

v = ω r         o u         ω = v / r

Bem, como a gente quer encontrar a velocidade v em ambos os casos e depois compara-las, acho mais interessante primeiro trabalhar com uma equação neutra...

  M g h = 1 2 I v r 2 + 1 2 M v 2   →

Depois da velocidade isolada a gente só substitui, não é mais interessante . Vamos nessa então!

Passo 2

  M g h = 1 2 I v 2 r 2 + 1 2 M v 2   →

Para simplificar ainda mais essa equação, repare que podemos multiplicar todo mundo por 2 / M ...

2 M M g h = 1 2 2 M I v 2 r 2 + 1 2 2 M M v 2   →

Assim, cortando quem tem que ser cortado...

2 g h = I M r 2 v 2 + v 2   →

v 2 I M r 2 + 1 = 2 g h   →

Isolando v ...

v 2 = 2 g h I M r 2 + 1   →

v = 2 g h I M r 2 + 1  

Passo 3

Então, agora que temos v isolado. Vamos analisar a velocidade de cada caso. Primeiro a do cilindro oco...

v o c o = 2 g h I C M o c o M r 2 + 1

Pelo lembrete no enunciado, podemos encontrar o momento de inércia do cilindro oco I C M o c o ...

I C M o c o = M r 2       →             I C M o c o M r 2 = 1

Então...

  v o c o = 2 g h 1 + 1   →

v o c o = 2 g h 2

Agora vejamos a mesma análise, mas para o cilindro sólido

v s o l i d o = 2 g h I C M s o l i d o M r 2 + 1

Através do enunciado...

I C M s o l i d o = 1 2 M r 2       →             I C M o c o M r 2 = 1 2

  v s o l i d o = 2 g h 1 2 + 1   →

v s o l i d o = 2 g h 1,5

Passo 4

Beleza! Com a velocidade dos dois carinhas calculados, vamos compara-las, beleza?

Repare que o denominador do oco é 2 , levemente maior do que 1,5 (denominador do sólido). Logo, concluímos que...

v o c o = 2 g h 2 < v s o l i d o = 2 g h 1,5

Portanto...

v o c o < v s ó l i d o

Olha que maravilha! Nós temos um item que fala justamente sobre isso:

O cilindro sólido chega primeiro ao plano horizontal porque seu momento de inércia é menor que do cilindro oco.

Como só existe um item correto, nem precisamos olhar para os demais...

Resposta

Letra E.

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